bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z>0 thỏa [TEX]x+y+z= \frac{yz}{3x}[/TEX] chứng minh rằng:
[TEX]x \leq \frac{2 \sqrt{3}-3}{6}(y+z)[/TEX]

 

[duynhan1]

Đầu tiên giảm biết đã, đặt: $\begin{cases}a= \frac{y}{x} \\ b = \frac{z}{x} \end{cases}$
Giả thiết bài toán trở thành: $$1+a+b = \frac13 ab $$ và ta cần chứng minh: $$2( 2\sqrt{3} +3) \le a+b$$
Chứng minh bài này không khó , sử dụng $ab \le \frac14(a+b)^2$ là OK.

 

[drthanhnam]

Bài này có thể làm như sau:
Do x,y,z dương nên theo BDT Cô-si.
Ta có:
[tex]3x^2+3x(y+z)=yz \Rightarrow 3x^2+3x(y+z)\leq\frac{(y+z)^2}{4}[/tex]
Đặt y+z=t (t>0)
Ta được:
[TEX]3x^2+3xt\leq\frac{t^2}{4} \Leftrightarrow 12x^2+12tx-t^2 \leq0[/TEX]
Giải bất phương trình này kết hợp điều kiện dễ dàng có:
[tex]x\leq \frac{2\sqrt{3}-3}{6}t[/tex]
Suy ra đpcm