bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z>0 thỏa xyz(x+y+z)=1. chứng minh rằng: [TEX](x+y)(y+z) \geq 2[/TEX]

 

[truongduong9083]

mình giúp bạn nhé

Giả thiết làm ta liên tưởng đến công thức hê rông trong tam giác
Đặt [TEX]x = p-a; y = p -b; z = p- c[/TEX]
suy ra [TEX] x + y+ z = p; S^2 = xyz(x+y+z) = 1[/TEX]
Ta có AB = x +y; AC = x + z
[TEX]S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC.sinA \leq \frac{1}{2}AB.AC[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AB.AC \geq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x+y)(x+z) \geq 2[/TEX]

Không đúng anh ơi, chưa có điều kiện x, y, z là 3 cạnh của tam giác nên không đặt như thế được ạ.

 

[jet_nguyen]

Bạn tham khảo cách này xem được không nhé.
Từ giả thiết ta có:
$$xyz(x+y+z)=1.$$$$ \Longleftrightarrow xz(xy+y^2+yz)=1$$$$ \Longleftrightarrow xy+y^2+yz=\dfrac{1}{xz}(x,z >0)( * )$$ Khai triển BĐT cần chứng minh ta thu được:
$$(xy+y^2+yz)+xz \ge 2$$ Thế $ ( * )$ vào ta được: $ \dfrac{1}{xz}+xz \ge 2$ (Đúng theo BĐT Cosi vì x,y >0 nên xz>0)
Vì thế BĐT được chứng minh.