bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [TEX]\left\{ \begin{array}{l} a>0 \\ a^2=bc \\ a+b+c=abc \end{array} \right [/TEX]. chứng minh rằng: [TEX]b,c>0[/TEX]

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Từ giả thiết ta có
$a^3 = abc \Rightarrow b+c = a^3 - a$
Ta lại có:
$a^2 = bc \leq \frac{(b+c)^2}{4}$
$\Rightarrow 4a^2 \leq (a^3-a)^2$
$\Leftrightarrow (a^2 - 1)^2 \geq 4$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a^2- 1 \geq 2 \\ a^2 - 1 \leq - 2 (L) \end{array} \right.$
$\Rightarrow a \geq \sqrt{3}$
Nhận xét: b, c là hai nghiệm của phương trình
$t^2 - (a^3-a)t + a^2 = 0$
Do $S = a^3 - a > 0; P = a^2 > 0$
Nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt hay $b, c > 0$ nhé