bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0. chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} < \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{ c/(a+b)}[/TEX]

 

[truongduong9083]

mình gợi ý giúp bạn nhé

Chứng minh
[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c} = 2[/TEX] (1)
Ta có
[TEX]\sqrt{\frac{a}{b+c}} = \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}>\frac{2a}{a+b+c} [/TEX]
tương tự [TEX]\sqrt{\frac{b}{c+a}} > \frac{2b}{a+b+c}; \sqrt{\frac{c}{a+b}} > \frac{2c}{a+b+c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+ \sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2 (2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh