bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số thực x,y,z thỏa [TEX]3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}=1[/TEX]. chứng minh rằng:
[TEX]\frac{9^x}{3^x+3^{y+z}} + \frac{9^y}{3^y+3^{z+x}} + \frac{9^z}{3^z+3^{x+y}} \geq \frac{3^x+3^y+3^z}{4}[/TEX]

 

[jet_nguyen]

Đặt: $a=3^x,b=3^y,c=3^z$ thì bài toán trở thành:
Cho các số dường a,b,c thoả: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ac}+\dfrac{c^2}{c+ab}$ \geq $\dfrac{a+b+c}{4}$
Từ giải thiết suy ra: $ab+bc+ac=abc$
Vậy nên ta có:
$$\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)}$$ Mặt khác áp dụng BĐT Cosi ta có:$\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}$ \geq $\dfrac{3a}{4}$
Tương tự ta có: $\dfrac{b^3}{(b+a)(b+c)}+\dfrac{b+a}{8}+\dfrac{b+c}{8}$ \geq $\dfrac{3b}{4}$, $\dfrac{c^3}{(c+b)(a+c)}+\dfrac{c+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}$ \geq $\dfrac{3c}{4}$
Cộng 3 BĐT lại ta được điều phải chứng minh.