bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c dương thỏa [TEX]a+b+c=\frac{3}{4}[/TEX]. chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a} \leq 3[/TEX]
khi nào xảy ra đẳng thức?

 

[bboy114crew]

Ta có:
$\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{1.1(a+3b)} \le \frac{1+1+a+3b}{3}$
Làm tương tư rồi cộng lại ta được:
$\sum \sqrt[3]{a+3b} \le \frac{6+4(a+b+c)}{3}= 3$

 

[truongduong9083]

mình giúp bạn nhé

Ta có
[TEX]3.\sqrt[3]{a+3b}.1.1\leq a+3b+2[/TEX]
[TEX]3.\sqrt[3]{b+3c}.1.1\leq b+3c+2[/TEX]
[TEX]3.\sqrt[3]{a+3b}.1.1\leq c+3a+2[/TEX]
cộng ba bất đẳng thức lại ta được
[TEX]3(\sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{a+3b})\leq 4(a+b+c )+6[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{a+3b} \leq 3[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi a = b= c =[TEX]\frac{1}{4[FONT="Times New Roman"][FONT="Times New Roman"][SIZE="4"][/SIZE][/FONT][/FONT]}[/TEX]