Toán 12 Bất đẳng thức

[vingotomai_gl]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z >0 va xy+yz+zx[TEX]\leq3[/TEX] CMR
[TEX]\frac{2}{\sqrt[]{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}\geq3[/TEX]

 

[bboy114crew]

Theo AM-GM Ta có:
$$VT=\frac{1}{\sqrt{xyz}}+ \frac{1}{\sqrt{xyz}}+ \frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{27}{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$$ $$=\dfrac{9}{\sqrt[3]{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$$ Ta lại có: $$xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)=(2xz+yz)(2yz+zx)(2zy+xy) \le \left(\dfrac{3(xy+yz+zx)}{3} \right)^3 \le 27$$ Suy ra: $\ VT \ge 3$.
Điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: $\ x=y=z=1$

 

[maxqn]

Theo AM-GM Ta có:
$$VT=\frac{1}{\sqrt{xyz}}+ \frac{1}{\sqrt{xyz}}+ \frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{27}{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$$ $$=\dfrac{9}{\sqrt[3]{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$$ Ta lại có: $$xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)=(2xz+yz)(2yz+zx)(2zy+xy) \le \left(\dfrac{3(xy+yz+zx)}{3} \right)^3 \leq 27$$ Suy ra: $\ VT \ge 3$.
Điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: $\ x=y=z=1$

Cái biểu thức ở giữa là $2yx + zx$ chứ nhỉ
------------------------------------------