Bất đẳng thức

[hungredbull]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ai giúp mình bài này không
cho 3 số thực dương x,y,z và thoả mãn xy+yz+zx [TEX]\leq [/TEX]3
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=[TEX]\frac{1}{\sqrt{xyz}}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+[/TEX][TEX]\frac{1}{z+x}[/TEX]

 

[duynhan1]

ai giúp mình bài này không
cho 3 số thực dương x,y,z và thoả mãn xy+yz+zx [TEX]\leq [/TEX]3
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=[TEX]\frac{1}{\sqrt{xyz}}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+[/TEX][TEX]\frac{1}{z+x}[/TEX]

$$\begin{aligned} P = \frac{1}{2\sqrt{xyz}}+\frac{1}{2\sqrt{xyz}}+ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} & \ge \frac{5}{\sqrt[5]{4xyz(x+y)(y+z)(z+x)}} = \\ & = \frac{5}{\sqrt[5]{4(xz+yz)(xy+zx)(zx+xy)}} \end{aligned}$$ Mặt khác theo BĐT AM-GM ta có: $$ (xz+yz)(xy+zx)(zx+xy) \le \left( \frac{2(xy+yz+zx)}{3} \right)^3 \le 8 $$
Suy ra: $P \ge \frac52$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $x=y=z=1$