bất đẳng thức

[conduongcuatoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)cho $x,y,z$,thoa mãn hệ $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=1$
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^3+y^3+z^3$

2)cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ac=3$ chứng minh rằng

$\frac{a^3}{b^2+3} + \frac{b^3}{c^2+3} + \frac{c^3}{a^2+3} \geq \frac34$

3) cho các số thực dương $a,b,c$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}} - \frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

bạn nào biết giải giúp mình nha.THANHK

 

[locxoaymgk]

Câu 1:
Ta có:
x[TEX]^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/TEX]

Vì [TEX]x+y+z=0 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz.[/TEX]

Mà 1[TEX]=x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow -\frac{1}{3\sqrt{3}} \leq xyz\leq \frac{1}{3\sqrt{3}} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \leq \frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]

 

[meocon_113]

2)cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=3 chứng minh rằng
A=a^3/(b^2+3)+b^3/(c^2+3)+c^3/(a^2+3) lớn hơn hoặc bằng 3/4

[TEX]\frac{a^3}{b^2+3}=\frac{a^3}{(b^2+ab+ac+bc}=\frac{a^3}{(b+a)(b+c)}[/TEX]
[TEX]\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}[/TEX]\geq [TEX]\frac{3}{4}a[/TEX] ( bất đẳng thức Cauchy)
tương tự[TEX]\frac{b^3}{(a+c)(b+c)}+\frac{a+c}{8}+\frac{b+c}{8}[/TEX]\geq [TEX]\frac{3}{4}b[/TEX]
[TEX]\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}[/TEX]\geq [TEX]\frac{3}{4}c[/TEX]
mặt khác [TEX](a+b+c)^2[/TEX]\geq 3(ab+ac+bc)=9 \Rightarrow a+b+c\geq3

ta có A+[TEX]\frac{a+b+c}{2}[/TEX]\geq[TEX]\frac{3(a+b+c)}{4}[/TEX]
\Rightarrow A\geq[TEX]\frac{a+b+c}{4}[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{4}[/TEX]
dấu = xảy ra khi a=b=c=1