Bất đẳng thức

[legendyugi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 thoả mãn abc=1.CM BĐT sau nhưng chỉ sử dụng CS và AM-GM :
[TEX]\frac{a^2\sqrt{a}}{b+c} +\frac{b^2\sqrt{b}}{c+a} +\frac{c^2\sqrt{c}}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[hn3]

Ta có :

[TEX]\frac{a^2.\sqrt{a}}{b+c}+\frac{b^2.\sqrt{b}}{c+a}+\frac{c^2.\sqrt{c}}{a+b}[/TEX]

[TEX]\text{Su dung CS} \ : \[/TEX]

[TEX]\geq \frac{(\sqrt[4]{a^5}+\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{c^5})^2}{2(a+b+c)}[/TEX]

[TEX]\text{Su dung AM-GM cho tu so va mau so} \ : \[/TEX]

[TEX]\geq \frac{3.3}{2.3}=\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\text{Dau bang khi} \ a=b=c=1[/TEX]

 

[legendyugi]

Ta có :

[TEX]\frac{a^2.\sqrt{a}}{b+c}+\frac{b^2.\sqrt{b}}{c+a}+\frac{c^2.\sqrt{c}}{a+b}[/TEX]

[TEX]\text{Su dung CS} \ : \[/TEX]

[TEX]\geq \frac{(\sqrt[4]{a^5}+\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{c^5})^2}{2(a+b+c)}[/TEX]

[TEX]\text{Su dung AM-GM cho tu so va mau so} \ : \[/TEX]

[TEX]\geq \frac{3.3}{2.3}=\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\text{Dau bang khi} \ a=b=c=1[/TEX]

Ơ,em tưởng ở mẫu khi Cô-si thì phải đổi lại dấu của bất đẳng thức chứ @-)

 

[nhoanh9x]

Ơ,em tưởng ở mẫu khi Cô-si thì phải đổi lại dấu của bất đẳng thức chứ @-)

tớ giả lời thay cậu hn3 nhóesài cosi cho cả tử sô&mẫu só thì hôg đổi chiều,nhứt là khi mẫu số nó thuận chiều theo bdt cosi

 

[legendyugi]

tớ giả lời thay cậu hn3 nhóesài cosi cho cả tử sô&mẫu só thì hôg đổi chiều,nhứt là khi mẫu số nó thuận chiều theo bdt cosi

Em tưởng là :-S [TEX]2(a+b+c) \geq 2.3\sqrt[3]{abc} =6 \Rightarrow \frac{1}{2(a+b+c)} \leq \frac{1}{6}[/TEX]

 

[nhoanh9x]

Em tưởng là :-S [TEX]2(a+b+c) \geq 2.3\sqrt[3]{abc} =6 \Rightarrow \frac{1}{2(a+b+c)} \leq \frac{1}{6}[/TEX]

uấy, đừng tách tử số&mẫu số ra như zậy, sài am-gm cho cả tử số&mẫu số thì rữ nguên chìu bdt, uây nhóe:
[TEX]\frac{(\sqrt[4]{a^5}+\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{c^5})^2}{2(a+b+c)} \geq \frac{(3\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^5b^5c^5}})^2}{2.3\sqrt[3]{abc}}[/TEX]
Chuển abc=1 vô, là xog nhóe

 

[legendyugi]

uấy, đừng tách tử số&mẫu số ra như zậy, sài am-gm cho cả tử số&mẫu số thì rữ nguên chìu bdt, uây nhóe:
[TEX]\frac{(\sqrt[4]{a^5}+\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{c^5})^2}{2(a+b+c)} \geq \frac{(3\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^5b^5c^5}})^2}{2.3\sqrt[3]{abc}}[/TEX]
Chuển abc=1 vô, là xog nhóe

Nhưng thầy e chắc không cho Cô-si cả tử vs mẫu kỉu thế đâu :-S,làm kỉu khác cho em vs

 

[taphuongnam]

Đây
Ta có [TEX]abc=1[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{bc}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX] \frac{a^2\sqrt{a}}{b+c} = \frac{a^2}{(b+c)\sqrt{bc} [/TEX]
\geq [TEX]\frac{2a^2}{(b+c)^2}[/TEX] [TEX](Co-Si)[/TEX]
Tương tự như vậy ta có: (đặt biểu thức ban đầu là P)
[TEX]P[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\sum_{cyc}2\frac{a^2}{(b+c)^2} = \frac{2}{3}. 3\sum_{cyc}\frac{a^2}{(b+c)^2}[/TEX]
[TEX]\geq[/TEX] [TEX] \frac{2}{3}. (\sum_{cyc}\frac{a}{b+c})^2 [/TEX] [TEX](Bu-nhi-a-cop-xki)[/TEX]
[TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{2}{3} . \frac{3^2}{2^2} = \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]OK.[/TEX]