Bất đẳng thức!!!

[king_wang.bbang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho [TEX]x > y \geq 0[/TEX] , cm:[TEX]x + \frac{4}{{(x - y){{(y + 1)}^2}}} \geq 3[/TEX]

2) Cho [TEX]u,v,x,y \in R[/TEX] : [TEX]{u^2} + {v^2} = {x^2} + {y^2} = 1[/TEX]
cm:[TEX] - \sqrt 2 \leq u(x - y) + v(x + y) \leq \sqrt 2 [/TEX]

3)c/m: [TEX]\frac{1}{3} \leq \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}} \leq 3[/TEX] với mọi [TEX]x \in R [/TEX]

Giúp mình với, cảm ơn nhiều!!!

 

[hn3]

Bài 2 :

Cho [TEX]u,v,x,y \in R : u^2+v^2=x^2+y^2=1[/TEX] .

Chứng minh : [TEX]{-}\sqrt{2} \leq u(x-y)+v(x+y) \leq \sqrt{2}[/TEX]

Giải :

Đặt [TEX]P=u(x-y)+v(x+y)[/TEX]

Ta có : [TEX]P=(v+u)x+(v-u)y[/TEX] .

[TEX]==> P^2 \leq [(v+u)^2+(v-u)^2].(x^2+y^2)[/TEX]

[TEX]<=> P^2 \leq 2(u^2+v^2).(x^2+y^2)[/TEX]

[TEX]<=> P^2 \leq 2[/TEX]

==> đpcm .

Bài 3 :

Chứng minh [TEX]\forall x \in R[/TEX] :

[TEX]\frac{1}{3} \leq \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} \leq 3[/TEX]

Giải :

Đặt [TEX]P=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}[/TEX]

Ta có phương trình : [TEX](1-P).x^2+(1+P).x+(1-P)=0[/TEX]

[TEX]\Delta=-3P^2+10P-3 \geq 0[/TEX]

==> đpcm .

 

[hn3]

Còn Bài 1 :

Quy đồng , chuyển vế . Ta có :

[TEX]\frac{(x-3)(x-y)(y+1)^2+4}{(x-y)(y+1)^2} \geq 0[/TEX]

Do [TEX]x>y\geq 0[/TEX] nên mẫu số [TEX]>0[/TEX] .

Còn tử số : Xét 3 trường hợp : [TEX]0<x<3 , x=3 , x>3[/TEX] : thấy tử số luôn [TEX]\geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức đề bài đúng |-)

 

[niemkieuloveahbu]

1)Cho [TEX]x > y \geq 0[/TEX] , cm:[TEX]x + \frac{4}{{(x - y){{(y + 1)}^2}}} \geq 3[/TEX]

Bài này AM-GM cho nhanh:
[TEX]x + \frac{4}{{(x - y){{(y + 1)}^2}}}=x-y+\frac{y+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{4}{{(x - y){{(y + 1)}^2}}}-1 \geq 4-1=3[/TEX]