Toán 12 Bất đẳng thức

[vipdang10b]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với mọi số thực ko âm a,b,c thoả mãn ab+bc+ac=3. Cm
1/(a^2 +2) + 1/(b^2 +2) + 1/(c^2 +2) <=1.

 

[asroma11235]

Chứng minh rằng với mọi số thực ko âm a,b,c thoả mãn [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX]. Cm
[TEX]\frac{1}{a^2 +2} + \frac{1}{b^2 +2} + \frac{1}{c^2 +2} \leq 1[/TEX].

-Về giả thiết, tớ nghĩ là phải cho a,b,c không đồng thời bằng 0. Vì nếu chỉ không âm thôi thì chúng ta có phản ví dụ.
-Giải:
Biến đổi giả thiết: [TEX]\frac{(a+b+c)^2}{3} \geq ab+bc+ca =3 \Leftrightarrow a+b+c \geq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow abc \geq 1[/TEX]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
[TEX]1-\frac{2}{a^2+2}+1- \frac{2}{b^2+2}+ 1- \frac{2}{c^2+2} \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2} \geq 1(') [/TEX]
Đặt:[TEX] a^2 = x/y ; b^2=y/z ; c^2= z/x[/TEX]
[TEX](') \Leftrightarrow \sum \frac{x}{x+2y} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+ 2(xy+yz+xz)} = 1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]