a. Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm có:
+)[TEX]a+b\geq 2\sqrt{ab}[/TEX]
+)[TEX]b+c\geq 2\sqrt{bc}[/TEX]
+)[TEX]a+c\geq 2\sqrt{ac}[/TEX]
Nhân 2 vế của 3 BĐT cùng chiều trên có:
[TEX] (a+b).(b+c).(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}. 2\sqrt{ac}=8abc<DPCM>[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
b. BĐT cần cm tương đương với:
[TEX]\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}\geq 8[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq 8(1)[/TEX]
Lại có:[TEX] (a+b).(b+c).(c+a)\geq 8abc [/tex] (theo câu a.) nên ta có:
[TEX]VT(1)\geq \frac{8abc}{abc}=8\Rightarrow (1)[/TEX] đúng [TEX]\Rightarrow DPCM[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
c. Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm có:
+)[TEX]a^2+2\geq 2\sqrt{2a^2}=2\sqrt{2}a[/TEX]
+)[TEX]b^2+2\geq 2\sqrt{2b^2}=2\sqrt{2}b[/TEX]
+)[TEX]c^2+2\geq 2\sqrt{2c^2}=2\sqrt{2}c[/TEX]
Nhân 2 vế của 3 BĐT cùng chiều trên có:
[TEX] (a^+2)(b^2+2).(c^2+2) \geq 2\sqrt{2}a.2\sqrt{2}b.2\sqrt{2}c=16\sqrt{2}abc<DPCM>[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
d. Áp dụng 3 lần bất đẳng thức [TEX]x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx[/TEX], ta có:
+)[TEX]\frac{a^6}{b^2c^2}+\frac{b^6}{a^2c^2}+\frac{c^6}{a^2b^2}=(\frac{a^3}{bc})^2+(\frac{b^3}{ac})^2+(\frac{c^3}{ab})^2\geq \frac{a^3b^3}{abc^2}+\frac{b^3c^3}{a^2bc}+\frac{a^3c^3}{ab^2c}=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}(1)[/TEX]
+)[TEX]VP(1)=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}=(\frac{ab}{c})^2+(\frac{bc}{a})^2+(\frac{ac}{b})^2\geq \frac{ab^2c}{ac}+\frac{abc^2}{ab}+\frac{a^2bc}{bc}=a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca <DPCM>[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn