Bất đẳng thức

[shayneward_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]x+y+z\leq \frac{3}{2}[/TEX] . CMR:
[TEX]\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}}+\sqrt{{y}^{2}+\frac{1}{{y}^{2}}}+\sqrt{{z}^{2}+\frac{1}{{z}^{2}}}[/TEX] lớn hơn hoặc bằng[TEX]\frac{3\sqrt{17}}{2}[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Cho các số dương x,y,z t/m [TEX] x+y+z \leq 1[/TEX]

CMR:

[TEX]\sqrt{ x^2+\frac{1}{x^2}}+ \sqrt{ y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{ z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z} = 9[/TEX]

[TEX]\sqrt{ x^2+\frac{1}{x^2}}+ \sqrt{ y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{ z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{ (x+y)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2}+\sqrt{ z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{ (x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2} = \sqrt{82}[/TEX]

Chỉ khác chỗ [TEX] a+b+c=\frac{3}{2}[/TEX]
Đổi đi là đc!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[quocoanh12345]

Chỉ khác chỗ [TEX] a+b+c=\frac{3}{2}[/TEX]
Đổi đi là đc!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Mình nói thêm tí :
Là chỗ đó bạn ấy dung BDT vecto hay minkowski

(spam tí cho vui)

 

[linhhuyenvuong]

Chỗ này áp dụng BDT: [TEX]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX] (tự c/m nha)

 

[nguyen_van_ba]

câu này xuất hiện trong rất nhiều các sách tham khảo

 

[thienlong_cuong]

Chỉ khác chỗ [TEX] a+b+c=\frac{3}{2}[/TEX]
Đổi đi là đc!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Cáh bằng Mincopski đã có
Bây giờ là cách cô si

[TEX]VT \geq 3\sqrt[3]{[\sqrt{(x^2 + \frac{1}{x^2}].[y^2 + \frac{1}{y^2}][z^2 + \frac{1}{z^2}}}[/TEX] (*)

Bây giờ chỉ cần tách ra

[TEX]x^2 + \frac{1}{16x^2} + ... + \frac{1}{16x^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}.x^{30}}[/TEX]
Tương tự

[TEX]y^2 + \frac{1}{16y^2} + ... + \frac{1}{16y^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}.y^{30}}[/TEX]


[TEX]z^2 + \frac{1}{16z^2} + ... + \frac{1}{16z^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}.z^{30}}[/TEX]

Chú ý thêm
[TEX]xyz \leq \frac{1}{2^{90}}[/TEX]

Bây giờ chỉ cần tìm cái MIN của cục

[TEX][x^2 + \frac{1}{x^2}].[y^2 + \frac{1}{y^2}][z^2 + \frac{1}{z^2}] \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}.x^{30}}}]. 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}.y^{30}}}.17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}.z^{30}}}] \geq \frac{17^3}{\sqrt[17]{2^{102}}} = \frac{17^3}{2^6}[/TEX]


Bây giờ ném cái đống này vô (*) là OK!

 

[thienlong_cuong]

Cáh bằng Mincopski đã có
Bây giờ là cách cô si

[TEX]VT \geq 3\sqrt[3]{[\sqrt{(x^2 + \frac{1}{x^2}].[y^2 + \frac{1}{y^2}][z^2 + \frac{1}{z^2}}}[/TEX] (*)

Bây giờ chỉ cần tách ra

[TEX]x^2 + \frac{1}{16x^2} + ... + \frac{1}{16x^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^16.x^30}[/TEX]
Tương tự

[TEX]y^2 + \frac{1}{16y^2} + ... + \frac{1}{16y^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^16.y^30}[/TEX]


[TEX]z^2 + \frac{1}{16z^2} + ... + \frac{1}{16z^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^16.z^30}[/TEX]

Chú ý thêm
[TEX]xyz \leq \frac{1}{2^90}[/TEX]

Bây giờ chỉ cần tìm cái MIN của cục

[TEX][x^2 + \frac{1}{x^2}].[y^2 + \frac{1}{y^2}][z^2 + \frac{1}{z^2}] \geq 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^16.x^30}}]. 17\sqrt[17]{\frac{1}{16^16.y^30}}.17\sqrt[17]{\frac{1}{16^16.z^30}}] \geq \frac{17^3}{\sqrt[17]{2^102}} = \frac{17^3}{2^6}[/TEX]


Bây giờ ném cái đống này vô (*) là OK!

he he he he he he he
Chém theo cauchy schwarz = bu nhi a copski = BCS X(

Ta có

[TEX]\sqrt{(x^2 + \frac{1}{x^2})(1 + 16)} \geq x + \frac{4}{x}[/TEX]

Tương tự

[TEX] \sqrt{(y^2 + \frac{1}{y^2})(1 + 16)} \geq y + \frac{4}{y}[/TEX]

[TEX]\sqrt{(z^2 + \frac{1}{z^2})(1 + 16)} \geq z + \frac{4}{z}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum \sqrt{(x^2 + \frac{1}{x^2})(1 + 16)} \geq x + y + z + \frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{4}{z} \geq x + y + z + \frac{36}{x + y + z}[/TEX] (*)

Tới đây kết hợp với đk bài toán [TEX]x + y + z \leq \frac{3}{2}[/TEX] tìm MIN của (*) là đc


CHo thêm bài tương tự nè !

Cho a , b ,c là các số thực duơng thoả mãn a + b +c \geq 6
Tìm MIN của
[TEX]C = \sqrt{a^2 + \frac{1}{b + c}} + \sqrt{b^2 + \frac{1}{a + c}} + \sqrt{c^2 + \frac{1}{a + b}}[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Góp thêm bài nữa này:
Cho x,y \geq0 và x+y=1
tìm Min của P=[TEX]\left({x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}} \right).\left({y}^{2}+\frac{1}{{y}^{2}} \right)[/TEX]

 

[bboy114crew]

Góp thêm bài nữa này:
Cho x,y \geq0 và x+y=1
tìm Min của P=[TEX]\left({x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}} \right).\left({y}^{2}+\frac{1}{{y}^{2}} \right)[/TEX]

Áp dụng BĐT C-S ta có:
[TEX]\left({x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}} \right).\left({y}^{2}+\frac{1}{{y}^{2}} \right) [/TEX]
[TEX]\geq (xy+\frac{1}{xy})^2[/TEX]
[TEX]= (xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy})^2 \geq (\frac{1}{2}+\frac{15}{16})^2[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

CHo thêm bài tương tự nè !

Cho a , b ,c là các số thực duơng thoả mãn a + b +c \geq 6
Tìm MIN của
[TEX]C = \sqrt{a^2 + \frac{1}{b + c}} + \sqrt{b^2 + \frac{1}{a + c}} + \sqrt{c^2 + \frac{1}{a + b}}[/TEX]

[TEX]\sqrt{[a^2+(\frac{1}{\sqrt{b+c}})^2](4^2+1^2)} \geq 4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}}[/TEX]

[TEX]\sqrt{[b^2+(\frac{1}{\sqrt{a+c}})^2](4^2+1^2)} \geq 4b+\frac{1}{\sqrt{a+c}} [/TEX]

[TEX]\sqrt{[c^2+(\frac{1}{\sqrt{b+a}})^2](4^2+1^2)} \geq 4c+\frac{1}{\sqrt{b+a}} [/TEX]

\Rightarrow[TEX]\sqrt{17}.C \geq 4(a+b+c}+(\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{a+c}}+\frac{1}{\sqrt{b+a}}[/TEX]
\geq [TEX]4(a+b+c) +\frac{9}{\sqrt[3]{\sqrt{a+b}.\sqrt{b+c}.\sqrt{a+c}}}\geq 4(a+b+c) +\frac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}[/TEX]
\geq[TEX]4(a+b+c)+\frac{9}{\sqrt{(1^2+1^2+1^2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]}[/TEX]
[TEX]=4(a+b+c)+\frac{9}{\sqrt{6(a+b+c)}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{31}{8}(a+b+c) +\frac{a+b+c}{8}+\frac{9}{2\sqrt{6(a+b+c)}}+ \frac{9}{2\sqrt{6(a+b+c)}}[/TEX]
\geq[TEX]\frac{31}{8}.6+3.\sqrt[3]{\frac{a+b+c}{8}.\frac{9}{2\sqrt{6(a+b+c)}}.\frac{9}{2\sqrt{6(a+b+c)}}[/TEX]
[TEX]=\frac{51}{2}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\sqrt{17}.C \geq \frac{51}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] Min C =\frac{3.\sqrt{17}}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a=b=c=2[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Cách khác: Dùng Mincopski
B\geq[TEX]\sqrt{({a+b+c})^{2}+({\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}})^{2}}[/TEX]\geq[TEX]\sqrt{({a+b+c})^{2}+\frac{81}{6(a+b+c)^2}}[/TEX] rồi làm tương tự bài trên là ok