Bất Đẳng Thức

[tuananh8]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh Bất Đẳng Thức:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

Bài 2: Cho [TEX]a,b,c \geq 0[/TEX] thoả mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh BĐT

[TEX]\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3} \leq \frac{3}{4}[/TEX]

 

[duonga4k88]

sử dụng bất đẳng thức cô si ta có
a/b+1/b+1/a+b^2\ge\4 (1)
chứng minh tương tự ta có
b/c+1/c+1/b+c^2\ge\4 (2)
c/a+1/a+1/c+a^2\ge\4 (3)
Từ (1)(2)và(3) ta có
a/b+b/c+c/a+2(1/a+1/b+1/c)+a^2+b^2+c^2\ge\12
mà a^2+b^2+c^2=3
nên => a/b+b/c+c/a+2(1/a+1/b+1/c)\ge\9
=> a/b+b/c+c/a\ge\9-2(1/a+1/b+1/c) (*)
để thoả mãn bài toán <=> 9-2(1/a+1/b+1/c)\ge\9/(a+b+c)
<=> 9-2(1/a+1/b+1/c)-9/(a+b+c)\ge\0 (**)
Ta lại có 1/a+1/b+a/c \ge\ 9/(a+b+c)
=> -9/(a+b+c)\ge\-1/a-1/b-1/c
thế vào (**) ta có 9-3(1/a+1/b+1/c)\ge\0 <=> 3-(1/a+1/b+1/c) \ge\ 0 (***)
mà (1/a^2+1)\ge\2/a
1/b^2+1\ge\2/b
1/c^2+1\ge\2/c
cộng vế theo vế ta có
3/2+1/2a^2+1/2b^2+1/2c^2 \ge\1/a+1/b+1/c
=> -1/a-1/b-1/c\ge\-3/2 -1/2a^2-1/2b^2-1/2c^2
=> (***) <=> 3- 3/2-1/2a^2-1/2b^2-1/2c^2\ge\0
<=> 3/2-1/2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)\ge\0 (****)
ta lại có 1/a^2+1/b^2+1/c^2\ge\9/(a^2+b^2+c^2)=3
=> (****) đúng \foralla,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=3
vậy bất đẳng thức đúng
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
>->->->->-
nếu hay thì nhớ thank