Bất đẳng thức

[hanoi05]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z la cac so duong va 1/x + 1/y + 1/z = 4.CMR:
1/(2X + y + z) + 1/(x + 2y +z) + 1/( x + y + 2z) \leq 1

GIUP MINH VOI!

 

[missclass]

mình viết lại cho dễ nhìn hơn nhé!
[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{z}[/TEX] = 4
CMR: [TEX]\frac{1}{2x +y +z}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{x+2y+z}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{x + +y +2z}[/TEX] \leq 1

 

[tell_me_goobye]

mình viết lại cho dễ nhìn hơn nhé!
[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{z}[/TEX] = 4
CMR: [TEX]\frac{1}{2x +y +z}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{x+2y+z}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{x + +y +2z}[/TEX] \leq 1

làm đại diện một cái

áp dụng BDT [TEX] \frac{1}{a} +\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} [/TEX]

làm đại diện
[TEX]\frac{ 1}{2x+y+z} \leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
tương tự rồi cộng vào
hoàn tất

 

[hanoi05]

làm đại diện một cái

áp dụng BDT [TEX] \frac{1}{a} +\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} [/TEX]

làm đại diện
[TEX]\frac{ 1}{2x+y+z} \leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]
tương tự rồi cộng vào
hoàn tất

Nhung ban oi! dau "=' xay ra khi nao?
tra loi lai cho minh nhanh nhe! cam on nhieu!

 

[trongthanh95]

Bất đẳng thức Cauchy:
(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 2√ab .2√(1/ab) = 4
⇒ 1/(a + b) ≤ (1/4).(1/a + 1/b) (*)
Áp dụng (*):
1/[2x+(y+z)] ≤ (1/4).[1/(2x) + 1/(y+z)] ≤ (1/4).[1/(2x) + (1/4).(1/y + 1/z)]
1/[2y+(z+x)] ≤ (1/4).[1/(2y) + 1/(z+x)] ≤ (1/4).[1/(2y) + (1/4).(1/z + 1/x)]
1/[2z+(x+y)] ≤ (1/4).[1/(2z) + 1/(x+y)] ≤ (1/4).[1/(2z) + (1/4).(1/x + 1/y)]
Cộng các bất đẳng thức trên:
1/(2x+y+z) + 1/(x+2y+z) + 1/(x+y+2z) ≤ (1/4).(1/x + 1/y + 1/z) = 1
⇒ đpcm
Dấu bằng có ⇔ x = y = z = 3/4