Bất dẳng thức!!!!

[handsomeboy_2309]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz\leq1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x}{y^3}[/tex] + [tex]\frac{y}{z^3}[/tex] + [tex]\frac{z}{x^3}[/tex] \geq x + y +z

 

[thienmai92]

thêm 1 bài nữa:
CM PT
X^(X+1)=(X+1)^X có nghiệm dương duy nhất???

 

[ivory]

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz\leq1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x}{y^3}[/tex] + [tex]\frac{y}{z^3}[/tex] + [tex]\frac{z}{x^3}[/tex] \geq x + y +z

*Chứng minh:
[TEX]\foral x,y,z>0; \frac{x}{y^3}+\frac{y}{z^3}+\frac{z}{x^3}\ge\frac{x+y+z}{xyz}[/TEX]
[TEX]\leftright A=\frac{xy^2}{z^2}+\frac{yz^2}{x^2}+\frac{zx^2}{y^2}\ge x+y+z[/TEX]
Ta co [TEX]\frac{xy^2}{z^2}+x\ge \frac{2xy}{z}[/TEX].....
suy ra [TEX]A\ge 2(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x})-(x+y+z)[/TEX]
mặt khác [TEX]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z[/TEX]
vậy [TEX]A\ge x+y+z[/TEX]
kết quả này và giả thiết, suy ra dpcm
*Đẳng thức :[TEX]x=y=z=1[/TEX]

 

[huycuopbien123]

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz\leq1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x}{y^3}[/tex] + [tex]\frac{y}{z^3}[/tex] + [tex]\frac{z}{x^3}[/tex] \geq x + y +z

Áp dụng BDT [tex]x^3[/tex]+[tex]y^3[/tex]\geqxy(x+y) (1)
Chia cả 2 vế của (1) cho [tex]x^2y^3[/tex] ta có
[tex]\frac{x}{y^3}[/tex]+[tex]\frac{1}{x^2}[/tex]\geq[tex]\frac{1}{y^2}[/tex]+[tex]\frac{1}{xy}[/tex]
Tương tự với [tex]y^3[/tex]+[tex]z^3[/tex]\geqyz(y+z)
[tex]z^3[/tex]+[tex]x^3[/tex]\geqzx(z+x)
Cộng lại theo vế ta có
Vế trái \geq [tex]\frac{1}{xy}[/tex] + [tex]\frac{1}{yz}[/tex] + [tex]\frac{1}{zx}[/tex]
Mà xyz\leq1 \Rightarrow [tex]\frac{1}{xy}[/tex]\geqz
[tex]\frac{1}{yz}[/tex]\geqx
[tex]\frac{1}{zx}[/tex]\geqy
\Rightarrowđpcm

 

[ngoisaobangdangyeu]

moi người thử giải bai này nhé:
cho x,y,z> 0 và xy+yz+zx = 4. Tìm giá tri lớn nhất của biểu thức A= xyz

 

[son_9f_ltv]

[TEX]AM-GM->4\ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

moi người thử giải bai này nhé:
cho [TEX]x,y,z> 0[/TEX] [TEX]và xy+yz+zx = 4. [/TEX]Tìm giá tri lớn nhất của biểu thức [TEX]A= xyz[/TEX]

[TEX] 4:=xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{(xyz)^2}[/TEX]

[TEX]xyz \le \(\frac{4}{3}\)^{\frac{3}{2}}[/TEX]

 

[ngoisaobangdangyeu]

cho a,b,c la 3 cạnh của môt tam giác. cmr : {(2a/ b+c- a)+(2b/ c+a-b)+(2c/ a+b-c)}>=6
moi người thử giải xem thế nào nhe

 

[bigbang195]

cho a,b,c la 3 cạnh của môt tam giác. cmr : {(2a/ b+c- a)+(2b/ c+a-b)+(2c/ a+b-c)}>=6
moi người thử giải xem thế nào nhe

sao phải thếm số 2 vào nhỉ ^^!

Áp dụng trực tiếp BDT Cauchy ta chỉ cần chứng

[TEX]abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)[/TEX]

nó đã quá quen thuộc

 

[ngoisaobangdangyeu]

cho x,y,z >=0 và x+y+z=<3. cmr: {(x/1+x^2)+(y/1+y^2)+(z/1+z^2)=<3/2=<{(1/1+x)+(1/1+y)+(1/1+z)}

 

[bigbang195]

Vế đầu tiên sử dụng Cô Si ở mẫu[TEX] x^2+1 \ge 2x[/TEX] nên [TEX]VT \le \frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z}=\frac{3}{2}[/TEX]

vế sau áp dụng Cauchy-Schwarz (

 

[ngoisaobangdangyeu]

cho 0\leqx\leq1. Tìm Max M=căn x+căn(1-x)+căn bậc 4 của (x)+ căn bâc 4 của (1-x)

 

[ngoisaobangdangyeu]

bat dang thuc

CMR: \forall x,y>0.Ta có: (1+x)(1+ y/x)(1+ 9/căn y)^2\geq 256

 

[rua_it]

CMR: \forall x,y>0.Ta có: (1+x)(1+ y/x)(1+ 9/căn y)^2\geq 256

[tex]1+x=1+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{x^3}{27}}[/tex]

[tex]\mathrm{1+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{3x}+\frac{y}{3x}+\frac{y}{3x} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{y^3}{27x^3}}[/tex]

[tex]\mathrm{1+\frac{9}{\sqrt{y}}=1+\frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{3}{\sqrt{y}}+\frac{3}{\sqrt{y}} \geq 4.\sqrt[4]{\frac{27}{\sqrt{y^3}}}[/tex]

[tex]\mathrm{(1 + x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}})^2 \geq 256.\sqrt[4]{\frac{27^2.x^3y^3}{27.x^3.27.y^3}}=256[/tex]

Hoặc [tex]\mathrm{Holder}[/tex]

P/s: Bài này phổ biến nhỉ

 

[cowboy9892]

Bài này có vẻ dễ nhưng mình chưa làm được, giúp nha:
1)cho x^2+y^2+z^2=1
tìm min của biểu thức B =x+y+z+zy+yz+zx

 

[bigbang195]

Đạt min khi

 

[quyenuy0241]

Bài này có vẻ dễ nhưng mình chưa làm được, giúp nha:
1)cho x^2+y^2+z^2=1
tìm min của biểu thức B =x+y+z+zy+yz+zx

Chẳng biết có biết cách của bigbang195 không nữa ! Vì chẳng nhìn thấy gì . Mỗi nhìn thấy "Dat min khi":

[tex]2B+1=2(x+y+z)+2(xy+yz+xz)+x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2+2(x+y+z)[/tex]

[tex]Min_B=-1\Leftrightarrow x+y+z=-1[/tex]

 

[tiger3323551]

bài này tìm được cả min và max [tex](x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=3[/tex]
[tex]xy+yz+zx \le x^2+y^2+z^2=1[/tex]
[tex]=>max=1+sqrt{3}[/tex] đẳng thức xảy ra [tex]<=>x=y=z=\frac{1}{sqrt{3}}[/tex]
Măt khác [tex](x+y+z)^2=1+2(xy+yz+zx)=>P=x+y+z+\frac{(x+y+z)^2-1}{2}[/tex]
[tex]={\frac{[(x+y+z)+1]^2-2}{2}} \ge -1[/tex]
Chọn x=-1 ,y=0,z=0 thì P=-1(và[tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex])
=>min P=-1

 

[quyenuy0241]

Chọn x=-1 ,y=0,z=0 thì P=-1(và[tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex])
=>min P=-1

Không cần chọn .
Dấu "=":

[tex]\left{\left{x+y+z=-1 \\xy+yz+zx=0 [/tex]

[tex]PT_2\Leftrightarrow xy-z(1+z)=0 \Rightarrow xy=z(1-z)[/tex]

[tex] PT_1 \Rightarrow x+y=-z [/tex]

x,y là nghiệm của PT :

[tex]X^2+zX+z(1-z)=0 [/tex]

[tex]\Delta=z^2-4z(1-z)=5z^2-4z >0 \Rightarrow z >...... [/tex]

[tex]\left[\begin{X=\frac{z+\sqrt{5z^2-4z}}{2}\\ X=\frac{z-\sqrt{5z^2-4z}}{2} [/tex]

từ đây có thể tìm ra mối liên hệ giưa x,y,z..