Bất Đăng Thức Và Cực Trị

[tienqm123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a;b;c là các số thực thoả mãn $(1+a)(1+b)$ = $\dfrac{9}{4}$ . Tìm Min :
P = $\sqrt{1+a^4} +\sqrt{1+b^4}$

2. cho a;b;c thực dương . CMR:
$\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+ \dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+ \dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{a+b+c}{5}$

3. Cho $x;y;z$ thoả mãn$ 0 \le x;y;z \le 2$ $x+y+z=3$. Tìm Min ; Max :
$P=x^4 + y^4 + z^4 + 12(1-x)(1-y)(1-z)$

4. $a,b,c >0$ thoả mãn $abc=1 $. CM:
$\dfrac{a}{(ab+a+1)^2} + \dfrac{b}{(bc+b+1)^2} + \dfrac{c}{(ca+c+1)^2}\ge \dfrac{1}{a+b+c}$

 

[lp_qt]

Câu 2

ta có: $3a^2+14ab+8b^2=(3a+2b)(a+4b)$

\Rightarrow $\sqrt{3a^2+14ab+8b^2}=\sqrt{(3a+2b)(a+4b)} \le \dfrac{4a+6b}{2}$

\Rightarrow $P \ge 2.(\dfrac{a^2}{4a+6b}+\dfrac{b^2}{4b+6c}+\dfrac{c^2}{4c+6a}$

$\ge 2.\dfrac{(a+b+c)^2}{10(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{5}$

 

[eye_smile]

1,$P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4} \ge \sqrt{(1+1)^2+(a^2+b^2)^2}=\sqrt{4+(a^2+b^2)^2}$

$(1+a)(1+b)=\dfrac{9}{4}$

\Leftrightarrow $1+a+b+ab=\dfrac{9}{4}$

\Leftrightarrow $a+b+ab=\dfrac{5}{4} \le \sqrt{2(a^2+b^2)}+\dfrac{a^2+b^2}{2}$

\Leftrightarrow $a^2+b^2 \ge \dfrac{1}{2}$

\Rightarrow $P \ge \sqrt{4+\dfrac{1}{4}}=...$

 

[eye_smile]

3,Giải tại đây:

http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2652959&postcount=2

 

[hien_vuthithanh]

2. cho a;b;c thực dương . CMR:
$\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+ \dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+ \dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{a+b+c}{5}$

$\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+ \dfrac{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}{25}\ge \dfrac{2a}{5}$

TT \Rightarrow $\sum \dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}} \ge \dfrac{2}{5}\sum a- \dfrac{1}{25}\sum \sqrt{3a^2+8b^2+14ab}$ (*)

Lại có $(\sum \sqrt{3a^2+8b^2+14ab})^2=(\sum \sqrt{(3a+2b)(a+4b)})^2 \le 5\sum a .5\sum a =25 (\sum a)^2$

\Rightarrow $\sum \sqrt{3a^2+8b^2+14ab}\le 5\sum a$

\Rightarrow Thay vào (*) \Rightarrow $\sum \dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}} \ge \dfrac{2}{5}\sum a- \dfrac{1}{25}.5\sum a =\dfrac{\sum a}{5}$

 

[hien_vuthithanh]

1. Cho a;b;c là các số thực thoả mãn $(1+a)(1+b)$ = $\dfrac{9}{4}$ . Tìm Min :
P = $\sqrt{1+a^4} +\sqrt{1+b^4}$

$P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4} \ge \sqrt{(1+1)^2+(a^2+b^2)^2}=\sqrt{4+(a^2+b^2)^2}$

$(1+a)(1+b)=\dfrac{9}{4}$

\Leftrightarrow $1+a+b+ab=\dfrac{9}{4}$

\Leftrightarrow $a+b+ab=\dfrac{5}{4}$

Có : $a^2+\dfrac{1}{4}\ge a$

$b^2+\dfrac{1}{4}\ge b$

$\dfrac{1}{2}(a^2+b^2) \ge ab$

\Rightarrow $\dfrac{3}{2}(a^2+b^2) \ge a+b+ab-2.\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

\Rightarrow $a^2+b^2\ge \dfrac{1}{2}$

\Rightarrow $P \ge ...$