Bất đẳng thức và cực trị

[tienqm123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho x+y=[TEX]\sqrt{10}[/TEX] .Tim Min $P = (1+x^4)(1+y^4)$

2. cho $a+b \ge 2$ CMR: $a^4 +b^4 \ge a^3 +b^3$

 

[eye_smile]

1,
$A=(1+x^4)(1+y^4)=x^4+y^4+x^4y^4+1=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1$

$=(10-2xy)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1$

$=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101$

$=(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)+45 \ge 45$

Min A=45 khi $x+y=\sqrt{10}$ và $xy=2$

 

[eye_smile]

2,$2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge 0$

\Rightarrow $(a+b)(a^3+b^3) \le 2(a^4+b^4) \le (a+b)(a^4+b^4)$

Suy ra đpcm