bất đẳng thức và cực trị

[ohyeah_002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho a,b,c là ba số thực dương tùy ý. Tìm giá trị của

A = $\dfrac{4a}{b + c} + \dfrac{9b}{a + c} +\dfrac{16c}{a + b}$


2) Cho x,y là các số thực dương . Chứng minh rằng :

$(x + y )^2$ + $\dfrac{x+y}{2}$ \geq $2x \sqrt{y}$ + $2y \sqrt{x}$


3) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 1.Chứng minh rằng :

$\sqrt{x^2 + xy + 2y^2}$ + $\sqrt{2y^2 + yz + 2z^2}$ + $\sqrt{2z^2 + xz + 2x^2 }$ \geq $\sqrt{5}$

 

[duchieu300699]

3) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 1.Chứng minh rằng :

$\sqrt{2x^2 + xy + 2y^2}$ + $\sqrt{2y^2 + yz + 2z^2}$ + $\sqrt{2z^2 + xz + 2x^2 }$ \geq $\sqrt{5}$

Chổ màu tím mình mới sửa bạn xem có đúng đề không ?

$5(x+y)^2+3(x-y)^2=4(2y^2+xy+2x^2)\ge 5(x+y)^2$

$\rightarrow 2y^2+xy+2x^2\ge \dfrac{\sqrt{5}(x+y)}{2}$

Tương tự rồi cộng lại ra được đpcm

Dấu "=" khi: $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

 

[duchieu300699]

2) Cho x,y là các số thực dương . Chứng minh rằng :

$(x + y )^2$ + $\dfrac{x+y}{2}$ \geq $2x \sqrt{y}$ + $2y \sqrt{x}$

BĐT tương đương: $(x + y )(x+y+\dfrac{1}{2}) \ge 2\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Có: $x+y\ge 2\sqrt{xy}$

$x-\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}+y-\sqrt{y}+\dfrac{1}{4} \ge 0$

Suy ra đpcm. Dấu "=" khi $x=y=\dfrac{1}{4}$

 

[congchuaanhsang]

A = $\dfrac{4a}{b + c} + \dfrac{9b}{a + c} +\dfrac{16c}{a + b}$

Cái này chắc là tìm min

Đặt $a+b=x$ ; $b+c=y$ ; $c+a=z$

\Rightarrow $a=\dfrac{x+z-y}{2}$ ; $b=\dfrac{x+y-z}{2}$ ; $z=\dfrac{y+z-x}{2}$

Thay vào. Lấy tử chia mẫu rồi áp dụng Cauchy là OK

 

[eye_smile]

3,Cách khác:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=351710