Bất đẳng thức và cực trị

[hangyeumele]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = $x^2 + y^2.$
Biết rằng x và y là các số thực thoả mãn : $x^2 + y^2 - xy = 4$

Chú ý Latex , ấn trích dẫn để xem!
Lần sau vi phạm, xóa bài
Đã sửa

 

[congchuaanhsang]

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x^2 + y^2.
Biết rằng x và y là các số thực thoả mãn : x^2 + y^2 - xy = 4

Có $4=x^2+y^2-xy$ \Leftrightarrow $x^2+y^2=xy+4$

Cauchy $xy$ \leq $\dfrac{x^2+y^2}{2}$

\Rightarrow $x^2+y^2$ \leq $\dfrac{x^2+y^2}{2}+4$

\Leftrightarrow $\dfrac{x^2+y^2}{2}$ \leq 4 \Leftrightarrow $x^2+y^2$ \leq 8

Lại có $xy$ \geq $\dfrac{-x^2-y^2}{2}$

\Leftrightarrow $x^2+y^2$\geq$\dfrac{-x^2-y^2}{2}+4$

\Leftrightarrow $\dfrac{3(x^2+y^2)}{2}$ \geq 4

\Leftrightarrow $x^2+y^2$ \geq $\dfrac{8}{3}$