Bất đẳng thức và cực trị

[trungkien199]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tình hình là đến mùa thi rồi, mà mình lại chẳng biết cái gì về vấn đề này luôn (Bất đẳng thức và cực trị). Nên rất là lo lắng vì dạng này rất dễ có trong đề thi, đặc biệt là đề thi vào 10. Mình lập article này mong mọi người giúp đỡ, để có thể làm được một số bài đơn giản, và cũng là để mọi người cùng nhau luyện tập.
Vào thẳng vấn đề luôn nhé:
Bài 1: Cho x\geq xy+1. Tìm GTLN của biểu thức:$P= \dfrac{3xy}{x^{2}+y^{2}} $
Bài 2: Tìm GTNN của hàm số $f(x) = x+ \dfrac{1}{x-2}$ ( với mọi x >2)

 

[duchieu300699]

2) Min của $x+\frac{1}{x-2}$

Có $x+\frac{1}{x-2}=x-2+\frac{1}{x-2}+2$ \geq $2+2=4$

Dấu "=" xảy ra khi $x=3$

 

[trungkien199]

Tiếp nhé:
Bài 3: Cho x,y,z thỏa mãn $2x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2xz+yz-3y-5z+17=0$.Tìm Giá trị của biểu thức $S=(x-4)^{2012}+(y-4)_{2013}+(z-4)^{2014}$
Bài 4: Cho a,b là hai số thực không âm thỏa: a+b\leq2
Chứng minh: $\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\ge \frac{8}{7}$
Bài 5: Cho phương trình: $x^{2}-2(m-1)x+m^{2}-m-1=0$(m là tham số).Khi phương trình trên có nghiệm $x_{1},x_{2}$,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+m$

 

[0973573959thuy]

Bài 3: Cho x,y,z thỏa mãn $2x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2xz+yz-3y-5z+17=0$.Tìm Giá trị của biểu thức $S=(x-4)^{2012}+(y-4)^{2013}+(z-4)^{2014}$

$2x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz + yz - 3y - 5z + 17 = 0$

$\leftrightarrow 4x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0$

$\leftrightarrow (4x^2 - 4xy + y^2) + y^2 + 2z^2 - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0$

$\leftrightarrow (2x - y)^2 - 2z(2x - y) + y^2 + 2z^2 - 6y - 10z + 34 = 0$

$\leftrightarrow [(2x - y)^2 - 2z(2x - y) + z^2] + y^2 + z^2 - 6y - 10z + 34 = 0$

$\leftrightarrow (2x - y - z)^2 + (z^2 - 10z + 25) + (y^2 - 6y + 9) = 0$

$\leftrightarrow (2x - y - z)^2 + (z - 5)^2 + (y - 3)^2 = 0$ (1)

Vì $(2x - y - z)^2 \ge 0; (z - 5)^2 \ge 5; (y - 3)^2 \ge 0$ \forall x;y;z nên $(1) \leftrightarrow 2x - y - z = z - 5 = y - 3 = 0 \leftrightarrow y = 3; z = 5; x = 4$

Thay vào S ta tính dc kq nhé!

 

[demon311]

ĐỘI 7:
Bài 5
Phương trình có nghiệm khi:
$\Delta' \ge 0 \\
\leftrightarrow (m-1)^2-m^2+m+1 \ge 0 \\
\leftrightarrow -m+2 \ge 0 \\
\leftrightarrow m \le 2$
Ta có:
$M=(x_1-1)^2+(x_2-2)^2+m =(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)+2+m \\
=(m-1)^2+2(m^2-m-1)-4m+4+2+m=3m^2-7m+5 =3(x-\dfrac{7}{6})^2+\dfrac{11}{12} \\
Min \; M=\dfrac{11}{2} \leftrightarrow x=\dfrac{7}{6}$

 

[huy14112]

Đội 2 :

B4:

$\dfrac{2+a}{1+a}+\dfrac{1-2b}{1+2b}=2(\dfrac{1}{2a+2}+\dfrac{1}{1+2b}) \ge 2.\dfrac{4}{2(a+b)+2+1}=\dfrac{8}{7}$

Dấu = tự tìm nhé rất dễ

 

[baihocquygia]

đội 7

câu 1
Nếu x,y trái dấu => P \leq 0
Nếu x>0 y>0
thì x \geq xy+1
\Leftrightarrow [TEX]\frac{x}{y}[/TEX] \geq [TEX]\frac{1}{x}[/TEX] + y
\Leftrightarrow [TEX]\frac{x}{y}[/TEX] \geq 4
P= [TEX]\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}[/TEX]
Xét ở mẫu [TEX]\frac{x}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{y}{x}[/TEX]=[TEX]\frac{x}{16y}[/TEX] + [TEX]\frac{y}{x}[/TEX] + [TEX]\frac{15x}{16y}[/TEX] \geq 2*[TEX]\frac{1}{4}[/TEX] + [TEX]\frac{15}{16}[/TEX].4 = 17/4
\Rightarrow P \leq 12/17
\Rightarrow maxP=12/17 \Leftrightarrow x=2 và y=1/2