Bất đẳng thức và cực trị

[c2nghiahoalgbg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình biết có nhiều người yếu Bất Đẳng thức như mình nên mình làm pic này để trao đổi về vấn đền này và rất mong mọi người giúp đỡ và đóng góp nha !
Bắt đầu:
Câu 1:
Cho a\geq1,b\geq1, chứng minh rằng:a$\sqrt{b-1}$+b$\sqrt{a-1}$\leq ab
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường PTTH chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, 1999-2000)
Câu 2:
Cho a,b,c\geq0.Chứng minh rằng:
$\sqrt{a^2+b^2}$+$\sqrt{b^2+c^2}$+$\sqrt{c^2+a^2}$\geq$\sqrt{2}$(a+b+c)

 

[pe_lun_hp]

roài roài
ủng hộ bạn thân yêu bằng cách cắm cổ giải bất đẳng thức nhá

Mặc dù cái phần này tớ nản dễ sợ @-)

Bài 2:
Dễ thấy $(a + b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)$

$\rightarrow a+b ≤ \sqrt{2(a^2 + b^2)}$

Cm tương tự ta đc:

$b + c ≤ \sqrt{2(b^2 + c^2)}$

$a + c ≤ \sqrt{2(a^2 + c^2)}$

$\rightarrow 2(a+b+c) ≤ \sqrt{2}.(\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+a^2} + \sqrt{b^2+c^2})$

đến đây là ok

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzzz

Cho a\geq1,b\geq1, chứng minh rằng:a$\sqrt{b-1}$+b$\sqrt{a-1}$\leq ab
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường PTTH chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, 1999-2000)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có
$(a-1) + 1 \ge 2\sqrt{a-1}$
\Leftrightarrow $\sqrt{a-1} \le \frac{a}{2}$
\Leftrightarrow $b\sqrt{a-1} \le \frac{ab}{2}$ (1)
tương tự có : $a\sqrt{b-1} \le \frac{ab}{2}$ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế \Rightarrow $b\sqrt{a-1} +a\sqrt{b-1} \le ab$ (ĐPCM)
dấu $"="$ xảy ra khi $a-1=1$ và $b-1=1$ \Leftrightarrow $a=b=2$

 

[pe_lun_hp]

Đến lúc t giải sai thì bạn đừng có đáp đá đấy
sợ

__

à anh bò xem có phải đề có vấn đề ko ạ, cái đk a,b 1 ý ạ

em nghĩ là chỉ có a,b > 1 thôi chứ nhỉ ^^


đi ngoài lề 1 xíu

ta có:

$\sqrt{t-1} = 1\sqrt{t-1} ≤ \dfrac{1+t -1}{2} = \dfrac{x}{2}$

$\sqrt{u-1} ≤ \dfrac{u}{2}$

$\rightarrow a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} ≤ a.\dfrac{b}{2} + b.\dfrac{a}{2} = ab$

@Bosjeunhan: Sao em, đó là điều kiện thêm vào đễ bài toán được xác định.

 

[daiduonglgbg]

Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc=1.
Tìm Max của P=$\frac{a}{a+b^2+c^2}+\frac{b}{b+c^2+a^2}+\frac{c}{c+a^2+b^2}$