Bất đẳng thức và cực trị!

[banhbaocua1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 :Cho a,b>0 a+b=1
Tìm min S = \frac{4}{a^2+b^2} + \frac{16}{ab}
Bài 2: Cho a,b,c >0 CM:
1< a / (a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2
Bài 3 Cho x,y khác 0
Tìm min \frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}
Bài 4 : Cho x khác 0
Tìm max S = \frac{x^2}{2012x^2-2x+1}

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

Bài 1 :Cho a,b>0 a+b=1
Tìm min S = [tex]\frac{4}{a^2+b^2}[/tex] + [tex]\frac{16}{ab}[/tex]

S= [tex]\frac{4}{a^2+b^2}[/tex] + [tex]\frac{16}{ab}[/tex]

= [TEX]{4}({\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}})[/TEX] + [TEX]\frac{12}{ab}[/TEX]

=[TEX]{4}({\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}})[/TEX] + [TEX]\frac{14}{ab}[/TEX]

= [TEX]{4}({\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}})[/TEX] + [TEX]\frac{56}{4ab}[/TEX]

ap dung bdt [TEX]\frac{1}{a+b}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{2ab}[/TEX] \geq [TEX]\frac{4}{a+b}[/TEX] va [TEX]{a+b}^2[/TEX] \geq 4ab

~> S \geq [TEX]{4} {\frac{4}{(a+b)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{56}{(a+b)^2}[/TEX]

= 16+56 = 72

" = " <~> a=b=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
nho tks nha

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

Bài 2: Cho a,b,c >0 CM:
1< a / (a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2

vi a,b,c>0
ta co [TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX] > [TEX]\frac{a}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\frac{b}{b+c[/TEX] > [TEX]\frac{b}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\frac{c}{c+a}[/TEX]> [TEX]\frac{c}{a+b+c}[/TEX]

~> [TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{c+a}[/TEX] > [TEX]\frac{a}{a+b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{a+b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{a+b+c}[/TEX] = 1

vi [TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX] <1

[TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX]< [TEX]\frac{2a}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\frac{b}{b+c}[/TEX]< [TEX]\frac{2b}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\frac{c}{c+a}[/TEX]< [TEX]\frac{2c}{a+b+c}[/TEX]

~> [TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{c+a}[/TEX] < [TEX]\frac{2a}{a+b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{2b}{a+b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{2c}{a+b+c}[/TEX] = 2

~>dpcm

 

[chisato_fukushima]

Mình cóa 1 pài nek tham khảo đy:
Cho x,y>0 và x + y \leq 1. Hãy tìm min của[TEX] A = \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{2}{xy} + 4xy[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

Mình cóa 1 pài nek tham khảo đy:
Cho x,y>0 và x + y \leq 1. Hãy tìm min của[TEX] A = \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{2}{xy} + 4xy[/TEX]

[TEX] A = \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{2}{xy} + 4xy[/TEX]
[TEX] = \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{1}{2xy} + \frac{1}{4xy} + 4xy + \frac{5}{4xy}[/TEX]
[TEX] \geq \frac{4}{(x + y)^2} + 2 \sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy} +\frac{5}{(x+y)^2}= 11[/TEX]

[TEX]"=" <~> x=y=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[chjenbinh_gaychan]

Bài 1 :Cho a,b>0 a+b=1
Tìm min S = \frac{4}{a^2+b^2} + \frac{16}{ab}
Bài 2: Cho a,b,c >0 CM:
1< a / (a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2
Bài 3 Cho x,y khác 0
Tìm min \frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}
Bài 4 : Cho x khác 0
Tìm max S = \frac{x^2}{2012x^2-2x+1}

bài 3 và 4 chém
Bài 4 !
S = \frac{x^2}{2012x^2-2x+1}

Xét
[TEX] \frac{1}{S} = \frac{2012x^2-2x+1}{x^2} = 2011 + \frac{(x - 1)^2}{x^2} \geq 2011[/TEX]

[TEX]\Rightarrow S \leq \frac{1}{2011} . Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x = 1 [/TEX]

 

[chjenbinh_gaychan]

Bài 3 Cho x,y khác 0
Tìm min \frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}

Ta có :
[TEX] \frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} = \frac{4x^2y^2}{x^2 + y^2} + \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2} \geq \frac{4x^2y^2}{x^2 + y^2} + \frac{(x^2 + y^2)^2}{2x^2y^2} = 2\sqrt{2(x^2 + y^2}} \geq 2(x + y)[/TEX]

8-}tới đây tự hỏi x + y bằng bao nhiêu thì mới làm đc chớ ko có thì ) chịu !

 

[chisato_fukushima]

Ta có :
[TEX] \frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}+ \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} = \frac{4x^2y^2}{x^2 + y^2} + \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2} \geq \frac{4x^2y^2}{x^2 + y^2} + \frac{(x^2 + y^2)^2}{2x^2y^2} = 2\sqrt{2(x^2 + y^2}} \geq 2(x + y)[/TEX]

8-}tới đây tự hỏi x + y bằng bao nhiêu thì mới làm đc chớ ko có thì ) chịu !

Làm sai bước thứ 2 rầu pạn ơi. xem lại đi. đề bài này ko thiếu đâu

 

[locxoaymgk]

Mình cóa 1 pài nek tham khảo đy:
Cho x,y>0 và x + y \leq 1. Hãy tìm min của[TEX] A = \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{2}{xy} + 4xy[/TEX]

Đề ko thiếu nhưng đề sai!
Đề đúng: ( Mình thấy trong nhiều sách rùi!): Biểu thức A= \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy.

Giải:
[TEX] A= \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy. =(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy})+(\frac{1}{4xy}+4xy})+\frac{1}{4xy}[/TEX]

[TEX] A \geq \frac{4}{(x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}}+\frac{1}{(x+y)^2}.[/TEX]


[TEX]A \geq \frac{4}{(x+y)^2}+2+\frac{1}{(x+y)^2}=4+2+1=7.[/TEX]

Dấu = của BDT xảy ra khi và chỉ khi[TEX] x=y=\frac{1}{2}[/TEX].

 

[son9701]

Đề ko thiếu nhưng đề sai!

Mình hơi ngu nhưng theo mình đề bài vẫn đúng mà.
Có lẽ trong sách bạn đọc nó cho đề bài như thế để dễ tính hơn thôi chứ [TEX]\frac{1}{xy}[/TEX] và [TEX]\frac{2}{xy}[/TEX] chẳng liên quan gì tớ đề bài cả.

Mình có lẽ lười đọc sách hơn bạn nên nếu sai thì thông cảm

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

Mình hơi ngu nhưng theo mình đề bài vẫn đúng mà.
Có lẽ trong sách bạn đọc nó cho đề bài như thế để dễ tính hơn thôi chứ [TEX]\frac{1}{xy}[/TEX] và [TEX]\frac{2}{xy}[/TEX] chẳng liên quan gì tớ đề bài cả.

Mình có lẽ lười đọc sách hơn bạn nên nếu sai thì thông cảm

mik` đồng ý
số ko quan trọng chủ yếu la kết quả đúng là được

 

[locxoaymgk]

Mình hơi ngu nhưng theo mình đề bài vẫn đúng mà.
Có lẽ trong sách bạn đọc nó cho đề bài như thế để dễ tính hơn thôi chứ [TEX]\frac{1}{xy}[/TEX] và [TEX]\frac{2}{xy}[/TEX] chẳng liên quan gì tớ đề bài cả.

Mình có lẽ lười đọc sách hơn bạn nên nếu sai thì thông cảm

Nếu đề đúng thì:
[TEX] A= \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy+\frac{1}{xy} =(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy})+(\frac{1}{4xy}+4xy})+\frac{1}{4xy}+ \frac{4}{4xy}[/TEX]

[TEX] A \geq \frac{4}{(x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}}+\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{4}{x+y)^2}[/TEX]


[TEX]A \geq \frac{4}{(x+y)^2}+2+\frac{1}{(x+y)^2}=4+2+1+4=11.[/TEX]

Dấu = của BDT xảy ra khi và chỉ khi[TEX] x=y=\frac{1}{2}[/TEX]