Bất đẳng thức và cực trị THCS

H

hang173

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó trong chương trình THCS và các bài bất đẳng thức thường là các bài chốt trong các đề tuyển sinh cấp 3. Topic này được lập ra nhằm giúp các bạn cùng trao đổi về các bđt trong chương trình THCS.
Các bất đẳng thức sử dụng trong topic này là.
1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means):
2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)
 3. BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz
 4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)
 4. Bất đẳng thức Bernoulli
5. Bất đẳng thức Netbitt
6.Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means - Hamonic Means)
8. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
 Với mọi số thực x,y ta có [FONT=MathJax_Main]|[FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]≤[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT] [/FONT]
 Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay [FONT=MathJax_Math]x[FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main]≥[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][/FONT]
 Với mọi số thực x,y ta có [FONT=MathJax_Main]|[FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]≥[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main]|[/FONT][/FONT]
 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [FONT=MathJax_Math]y[FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]≥[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][/FONT]
 9.Bất đẳng thức Mincopxki
 Những lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.
 2. Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như: Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển , quy nạp,phản chứng,...
 3.Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu "=" xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu "=" có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,...
 4. Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng.

Chúc các bạn thành công!!!
happy.png
 
H

hang173

I, Bunhia Côpxki:
Được phát biểu như sau:
Với n số không âm [tex]{a}_{1},{a}_{2},......,{a}_{n}[/tex] ta luôn có:
[tex]\frac{{a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{{a}_{1}.{a}_{2}.....{a}_{n}}[/tex]

Ý tưởng:
chúng ta chứng minh qua 3 bước cơ bản sau:
Bước 1:
Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 2.
Bước 2:
Giả thiết rằng bất đẳng thức đúng với n,trên cơ sở đó chứng minh bấtđẳng thức đúng với 2n.(Nhận xét: với kết luận ở bước 1 và kết quả ở bước 2, ta thấy bất đẳng thức đúngvới n = 2, 4, 8, 16,…)
Bước 3:
Giả thiết rằng bất đẳng thức đã đúng với n (n > 2),trên cơ sở đó chứngminh bất đẳng thức đúng với n – 1
II, Bất đẳng thức Cauchy( cái này chắc các bạn biết rồi, mình không phải nói thêm nữa nhỉ)
III, Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
 
Last edited by a moderator:
H

hang173

Một số bài tập:
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
[tex] a, ( x+ y + z ) ^2 \geq 3.(xy + yz + zx)[/tex]
[tex]b. x^2 ( 1 + y^2) + y^2 ( 1+ z^2) + z^2 ( 1+ x^2)\geq 6xyz[/tex]
Bài 2: a, Cho a,b,c là các số dương có tích bằng 1. CMR:
[tex](a+1)(b+1)(c+1) \geq 8[/tex]
b, Cho a,b là các số không âm. CMR :
[tex](a+1)(ab+1) \geq 4ab[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương khác nhau đôi một. Tìm GTLN của:

gif.latex

trong đó x,y thay đổi có tổng bằng 1.

Bài 4: Cho x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn [tex](x+y)^3 + xy = \frac{5}{4}[/tex]
Tìm min của [tex]A= 4(x+y)^4 - 2x^2y^2 - \frac{3}{4}(x^2 + y^2) + 1[/tex]
 
Last edited by a moderator:
L

longvtpro123


Bài 1:
a/ Ta có: [TEX]x^2 + y^2 \geq 2xy[/TEX]
[TEX]y^2 + z^2 \geq 2xz[/TEX]
[TEX]z^2 + x^2 \geq 2xz[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(x^2 + y^2 + z^2) \geq 2(xy + yz + zx)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 +y^2 + z^2 \geq xy + yz + xz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \geq 3(xy + yz + zx)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x + y + z)^2 \geq 3(xy + yz + zx)[/TEX]
b/ Ta có [TEX]x^2(1+y^2) + y^2(1+z^2) + z^2(1 + x^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2 + (yz)^2 + y^2 + (xz)^2 + z^2 + (xy)^2[/TEX]
Lại có: [TEX]x^2 + (yz)^2 \geq 2xyz[/TEX]
Tương tự, [TEX]y^2 + (xz)^2 \geq 2xyz[/TEX] và [TEX]z^2 + (xy)^2 \geq 2xyz[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2 + (yz)^2 + y^2 + (xz)^2 + z^2 + (xy)^2 \geq 6xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2(1 + y^2) + y^2(1 + z^2) + z^2(1 + x^2) \geq 6xyz[/TEX]
Bài 2:
a/ Ta có: [TEX](a+1)^2 \geq 4a[/TEX]; [TEX](b+1)^2 \geq 4b[/TEX] và [TEX](c+1)^2 \geq 4c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [(a+1)(b+1)(c+1)]^2 \geq 64abc[/TEX]
mà abc = 1 và a,b,c > 0
[TEX]\Rightarrow [(a+1)(b+1)(c+1)]^2 \geq 64[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8[/TEX]
b/ Ta có: [TEX](a+b)^2 \geq 4ab[/TEX] và [TEX](ab+1)^2 \geq 4ab[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [(a+b)(ab+1)]^2 \geq 16a^2b^2[/TEX]
mà a.b >0
[TEX]\Rightarrow (a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]
 
M

minhtuyb

Một số BĐT mở rộng:

-Từ BĐT [tex](a-b)^2\geq 0[/tex], ta có thêm các BĐT hệ quả sau :
1.[tex](a+b)^2\geq 4ab [/tex]
2. [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
3. [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2 (a,b>0)[/tex]
4. [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}(a,b,c>0)[/tex]
5. [tex]\frac{ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{4}[/tex]
6. [tex]2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2[/tex]

-Từ BĐT [tex](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0[/tex], ta thu được các BĐT sau:
7. [tex]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/tex]
8. [tex](a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)[/tex]
9. [tex]3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau. Các BĐT trên nhường cho bạn đọc tự c/m ;)).


Xin post 2 bài Cauchy ngược dấu ;):
Bài 5: Cho [TEX]a+b+c=1[/TEX], tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}[/TEX]

Bài 6: Cho [TEX]a+b+c=3[/TEX], tìm GTNN của biểu thức:
[tex]B=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/tex]
 
L

longvtpro123


Bài 5:
Ta có: [TEX]\frac{a^3}{a^2 + b^2} = \frac{a^3 + ab^2 - ab^2}{a^2 + b^2} = a - \frac{ab^2}{a^2 + b^2}[/TEX]
Ta có: [TEX]a^2 + b^2 \geq 2ab \Rightarrow \frac{ab^2}{a^2 + b^2} \leq \frac{ab^2}{2ab} \Leftrightarrow -\frac{ab^2}{a^2 + b^2} \geq -\frac{ab^2}{2ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a - \frac{ab^2}{a^2 + b^2} \geq a - \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{a^3}{a^2 + b^2} \geq a - \frac{b}{2}[/TEX]
C/m tương tự ta được [TEX]\frac{b^3}{b^2 + c^2} \geq b - \frac{c}{2}[/TEX] và [TEX]\frac{c^3}{c^2 + a^2} \geq c - \frac{a}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^3}{a^2 + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + a^2} \geq (a+b+c) - \frac{a+b+c}{2} \geq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/TEX]
Vậy, min(A) = [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] tại a=b=c.
 
V

vitconcatinh_foreverloveyou

minhtuyb said:


Xin post 2 bài Cauchy ngược dấu ;):
Bài 5: Cho [TEX]a+b+c=1[/TEX], tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}[/TEX]

Bài 6: Cho [TEX]a+b+c=3[/TEX], tìm GTNN của biểu thức:
[tex]B=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/tex]
[/SIZE]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]5. A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}[/TEX]

[TEX]= a+b+c - \bigg( \frac{ab^2}{a^2 + b^2} + \frac{bc^2}{b^2 + c^2} + \frac{ca^2}{c^2 + a^2} \bigg)[/TEX]

[TEX]\geq 3 - \bigg( \frac{ab^2}{2ab} + \frac{bc^2}{2bc} + \frac{ca^2}{2ca}\bigg) = \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]6. B=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}[/TEX]

[TEX]= a+b+c - \bigg( \frac{ab^2}{1 + b^2} + \frac{bc^2}{1 + c^2} + \frac{ca^2}{1 + a^2} \bigg)[/TEX]

[TEX]\geq 3 - \bigg( \frac{ab^2}{2b} + \frac{bc^2}{2c} + \frac{ca^2}{2a} \bigg) \geq \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\big( ( a+b+c)^2 \geq 3(ab + bc+ ca) \Rightarrow ab + bc +ca \leq 3 \big)[/TEX]
 
H

hang173

hang173 said:
Một số bài tập:
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
[tex] a, ( x+ y + z ) ^2 \geq 3.(xy + yz + zx)[/tex]
[tex]b. x^2 ( 1 + y^2) + y^2 ( 1+ z^2) + z^2 ( 1+ x^2)\geq 6xyz[/tex]
Bài 2: a, Cho a,b,c là các số dương có tích bằng 1. CMR:
[tex](a+1)(b+1)(c+1) \geq 8[/tex]
b, Cho a,b là các số không âm. CMR :
[tex](a+1)(ab+1) \geq 4ab[/tex]
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương khác nhau đôi một. Tìm GTLN của:

gif.latex

trong đó x,y thay đổi có tổng bằng 1.

Bài 4: Cho x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn [tex](x+y)^3 + xy = \frac{5}{4}[/tex]
Tìm min của [tex]A= 4(x+y)^4 - 2x^2y^2 - \frac{3}{4}(x^2 + y^2) + 1[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
--------------
có bạn nào làm được bài 3 không chỉ giùm mình với nhé!
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom