bất đẳng thức trong lượng giác

[lisabpbaby@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình với )
chứng minh trong tam giác abc nhọn , ta có :
tanA +tanB+ tanC >= cotA/2 + cotB/2 + cotC/2

 

[young01]

giúp mình với )
chứng minh trong tam giác abc nhọn , ta có :
tanA +tanB+ tanC >= cotA/2 + cotB/2 + cotC/2

tanA + tanB = $$\frac{sinA}{cosA}$$ + $$\frac{sinB}{cosB}$$ = $$\frac{sin(A+B)}{cosA cosB} = \frac{2sin(\pi -C)}{cos(A+B)+cos(A-B)}$$ = $$\frac{2sinC}{cos(A-B)-cosC}$$
Vì tam giác ABC nhọn => cosA.cosB > 0 <=> 0 < $$cos(A-B)-cosC$$ $$\leq$$ 1 - cosC
=> tanA + tanB $$\geq \frac{2sinC}{1-cosC} = \frac{4sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{2sin^{2}\frac{C}{2}} = 2cot\frac{C}{2}$$
Tương tự:
tanB + tanC $$\geq 2cot\frac{A}{2}$$
tanC + tanA $$\geq 2cot\frac{B}{2}$$
-> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> A = B = C =60*