Bất đẳng thức,trong các kì thi học sinh giỏi toán 9

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

người lớn thường quan niệm:lớp trẻ bây giờ suy nghĩ không chín chắn.Còn thế hệ trẻ thì nhận xét:tư tưởng những người đi trước là cổ hủ,lạc hậu
Thực ra,cả hai câu nói thường gặp trên đã mắc cùng một lỗi đó là lấy tuổi tác làm thước đo cho tư duy con người.Điều này chỉ đúng trong những hoàn cảnh cụ thể nhất định.Tư duy thành công thực sự không phụ thuộc nhiều vào độ tuổi,trình độ học vấn hiện tại,hay hoàn cảnh gia đình hay bất cứ yếu tố ngoại cảnh nào khác
chính vì vậy,có thể ngày hôm nay,bạn chưa phải là một người giỏi toán,giỏi tư duy lôgic nhưng bạn hoàn toàn có thể đạt được những điều đó bằng niềm đam mê và thói quen không ngừng học hỏi của mình
Hôm nay,mình lập topic bất đẳng thức này,là đã sưu tầm các tài liệu,đề thi học sinh giỏi toán 9 và đề thi vào lớp 10 chuyên toán có liên quan đến bất đẳng thức.Vì vậy,mình mong các bạn tích cực xây dựng,làm bài tập,đóng góp ý kiến để pic ngày càng hoàn thiện hơn và hữu ích hơn,,,
THANK YOU FOR WATCHING SO MUCH .

Mình sẽ không up những kiến thức cơ bản vì sẽ mất thời gian vi vậy bạn nào không hiểu có thể hỏi trưc tiếp trên topic này nhé!

1)
cho a,b,c>0 và a+b+c=1.tìm Min P:
P=[TEX]\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ac}+\frac{c}{c^2+8ac}[/TEX]

2)
cho a,b,c>0 tìm GTNN của P=[TEX]\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b}[/TEX]

3)cho các số thưc dương a,b,c.C/m
[TEX]\frac{a^11}{bc}+\frac{b^11}{ac}+\frac{c^11}{ab}[/TEX] + [TEX]\frac{3}{a^2.b^2.c^2}[/TEX] [TEX]\geq \frac{a^6+b^6+c^6+9}{2}[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

zzzzz

1)
cho a,b,c>0 và a+b+c=1.tìm Min P:
P=[TEX]\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ac}+\frac{c}{c^2+8ab}[/TEX]

2)
cho a,b,c>0 tìm GTNN của P=[TEX]\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b}[/TEX]

1/

$\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ac}+\frac{c}{c^2+8ac}
= \frac{a^2}{a^3+8abc}+\frac{b^2}{b^3+8abc}+\frac{c^2}{c^3+8abc} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}$ (Cauchy-Schwarz)

dễ thấy $(a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+ 3(a+b)(b+c)(a+c) \ge a^3+b^3+c^3 +24abc $(Cauchy)
\Rightarrow $\frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc} \ge \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^3}= 1$
hay $\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ac}+\frac{c}{c^2+8ac} \ge 1$
\Rightarrow...


2/ $\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b}$
$=\frac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\frac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\frac{c^2}{c^2+2ac+3bc} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}$ (Cauchy-schwarz)

áp dụng BĐT $3(ab+bc+ac) \le (a+b+c)^2$có:
$a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac= (a+b+c)^2 + 3(ab+bc+ac) \le (a+b+c)^2+(a+b+c)^2=2(a+b+c)^2$
\Rightarrow $ \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2} =\frac{1}{2}$
\Rightarrow $\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b} \ge \frac{1}{2} $
\Rightarrow...

 

[quanghao98]

Câu 3,mình gơi ý là thêm hạng tử 3abc rồi sử dụng AM-GM lần lượt $\frac{a^{11}}{bc} \frac{b^{11}}{ac} \frac{c^{11}}{ab}$ voi abc

 

[quanghao98]

BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
cho a,b,c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác.C/m
$$2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 > a^4+b^4+c^4$$

$$a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 < a^3+b^3+c^3$$

 

[thanhhien_pretty]

nè

cái câu a) hình như áp dụng BĐT Cô-si đó bạn
còn câu b) thì dấu > mình giải thế này :
[TEX]\Leftrightarrow a[(b-c)^12-a^2]+b[(c-a)^2-b^2]+c[(a+b)^2-c^2[/TEX]>0
[TEX]\Leftrightarrow a(b-c-a)(b-c+a)-b(a+b-c)(c-a+b)+c(a+b-c)(a+b+c)[/TEX] >0 ( lưu ý chỗ khai triển thứ hai nhé < đổi dấu ấy>)
[TEX]\Leftrightarrow (a+b-c)[a(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)[/TEX] >0
[TEX]\Leftrightarrow (a+b-c)[c^2-(a^2+b^2)+2ab[/TEX]>0
[TEX]\Leftrightarrow c^2-(a^+b^2-2ab)[/TEX]>0
[TEX]\Leftrightarrow c^2-(a-b)^2[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]c^2>(a-b)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c> /a-b/[/TEX] (*)
(*) hiển nhiên đúng nên BĐt cần CM đúng
\Rightarrow đpcm