Toán Bất đẳng thức tổng hợp

[Hạnh Hạnh Alison]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c>=0; a+b+c=1.CMR
[tex]\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}\leq a+\frac{b+c}{2}[/tex]
Bài 2: Cho x,y>=0 ; x^2+2y^2=1.CMR
[tex]\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{2}}[/tex]
Bài 3: Cho a,b>=0.CMR
[tex]\left ( a^{2}+b+\frac{3}{4} \right )\left ( b^{2}+a+\frac{3}{4} \right )\geq (2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})[/tex]
Bài 4: Cho a,b>0; a^2+b^2=1.CMR
a, [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{2}[/tex]
b, [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{2}+(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}[/tex]
Bài 5: Cho a,b,c thuộc khoảng [0;1]. CMR
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<=1

 

[Tony Time]

Bài 4: Cho a,b>0; a^2+b^2=1.CMR
a,

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} 1=a^2+b^2\geq 2ab & & \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}& & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\geq ab & & \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}} & & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}\geq \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}[/tex] (đpcm)

P/s: Mấy bài kia đang nghiên cứu :v

 

[tôi là ai?]

Bài 5: Cho a,b,c thuộc khoảng [0;1]. CMR
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<=1

ta có0=<a=<1
0=<1-b=<1(vì 0=<b=<1 -> 0>=-b>=-1 ->1>=1-b>=0)
-> 0=<a(1-b)=<1
mấy cái kia tương tự nhân vào

 

[ngô thị thu huyền]

Bài 3: Cho a,b>=0.CMR

[tex]\left ( a^{2}+b+\frac{3}{4} \right )\left ( b^{2} +a+\frac{3}{4}\right )\geq \left ( a+b+\frac{1}{2} \right )\left ( a+b+\frac{1}{2} \right )[/tex]=[tex]\left ( a+b+\frac{1}{2} \right )^{2}[/tex](chỗ này dùng cosi a^2 với 1/4 và b^2 với 1/4
mặt khác ta có:[tex]\left ( 2a+\frac{1}{2} \right )\left ( 2b+\frac{1}{2} \right )\leqslant \frac{\left ( 2a+\frac{1}{2}+2b+\frac{1}{2} \right )^{2}}{4} =\left ( a+b+\frac{1}{2} \right )^{2}[/tex]
=> dpcm
dấu = xảy ra <=> a=b=1/2

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1:
Biến đổi tương đương:
$\sqrt{a+\dfrac{(b-c)^2}{4}} \leq a+\dfrac{1-a}{2}=\dfrac{a+1}{2}
\\\Rightarrow 4a+(b-c)^2 \leq (a+1)^2
\\\Rightarrow (a-1)^2-(b-c)^2 \geq 0
\\\Rightarrow (a-1-b+c)(a-1+b-c) \geq 0
\\\Rightarrow -2b.-2c \geq 0
\\\Rightarrow 4bc \geq 0$
Điều này hiển nhiên đúng
Dấu '=' khi ... tự chỉ ra nhé