Toán Bất Đẳng Thức Toán Học

[Nguyễn Mạnh Trung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Em đang bí, các tiền bối giúp em bài này với:
a)tìm GTNN của:
[tex]A=\sqrt{-x^{2}+2x+8}-\sqrt{-x^{2}+x+2}[/tex]
b)tìm GTLN của:
[tex]B=x^{2}(3-x)[/tex]
mang được các bác giúp đỡ, em cảm ơn

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Em còn mấy bài này nữa ạ:
c)cho [tex]0<x\leq 1;0<y\leq 1[/tex] và [tex]x+y=4xy[/tex]
tìm GTNN, GTLN của bt:
[tex]C=x^{2}+y^{2}-xy[/tex]
d)cho x>0 thỏa mãn x+y=1, lìm Max của D=[tex]x^{2}y^{3}[/tex] (mình x> 0 thôi nhé)
các bạn giải lấy giải để, được câu nào thì được

 

[chi254]

Em đang bí, các tiền bối giúp em bài này với:
a)tìm GTNN của:
[tex]A=\sqrt{-x^{2}+2x+8}-\sqrt{-x^{2}+x+2}[/tex]
b)tìm GTLN của:
[tex]B=x^{2}(3-x)[/tex]
mang được các bác giúp đỡ, em cảm ơn

a)
$A=\sqrt{-x^{2}+2x+8}-\sqrt{-x^{2}+x+2}$
ĐKXĐ :$- 1 \leq x \leq 2$(1)
Xét hiệu $(-x^{2}+2x+8) - (-x^{2}+x+2) = x + 6$
Do (1) nên $x + 6 > 0$, do đó $A > 0$
Do (1) nên A có thể viết thành :
$A = \sqrt{x + 2} . \sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 1} . \sqrt{2 - x}$
Áp dụng bđt $(ab - cd )^2 \geq (a^2 - c^2)(b^2 - d^2)$
Ta có : $A^2 \geq ( x + 2- x - 1)(4 - x - 2 +x )= 1 . 2 = 2$
Do $A > 0$ nên $min A = \sqrt{2}$ với $(x + 2 )(2 - x) = (4 - x)(x + 1)$ hay $x = 0$

b) Mình nghĩ cần có điều kiện là $x \geq 0$ mới tìm được nhé bạn !
Xét $0 \leq x \leq 3$ .Ta có : $A = 4 . \dfrac{x}{2} . \dfrac{x}{2} (3 - x)$
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số không âm : $\dfrac{x}{2} , \dfrac{x}{2} ,(3 - x)$
$\dfrac{x}{2} . \dfrac{x}{2} (3 - x) \leq (\dfrac{\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + 3 - x}{3})^3 = 1$
Do đó :$A \leq 4$ (1)
Xét x> 3 khi đó $A < 0$ (2)
Từ (1) và (2) :
$max A = 4$ khi $\dfrac{x}{2} = 3 - x và x \geq 0$ hay $x = 2$

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

a)
$A=\sqrt{-x^{2}+2x+8}-\sqrt{-x^{2}+x+2}$
ĐKXĐ :$- 1 \leq x \leq 2$(1)
Xét hiệu $(-x^{2}+2x+8) - (-x^{2}+x+2) = x + 6$
Do (1) nên $x + 6 > 0$, do đó $A > 0$
Do (1) nên A có thể viết thành :
$A = \sqrt{x + 2} . \sqrt{4 - x} - \sqrt{x + 1} . \sqrt{2 - x}$
Áp dụng bđt $(ab - cd )^2 \geq (a^2 - c^2)(b^2 - d^2)$
Ta có : $A^2 \geq ( x + 2- x - 1)(4 - x - 2 +x )= 1 . 2 = 2$
Do $A > 0$ nên $min A = \sqrt{2}$ với $(x + 2 )(2 - x) = (4 - x)(x + 1)$ hay $x = 0$

b) Mình nghĩ cần có điều kiện là $x \geq 0$ mới tìm được nhé bạn !
Xét $0 \leq x \leq 3$ .Ta có : $A = 4 . \dfrac{x}{2} . \dfrac{x}{2} (3 - x)$
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số không âm : $\dfrac{x}{2} , \dfrac{x}{2} ,(3 - x)$
$\dfrac{x}{2} . \dfrac{x}{2} (3 - x) \leq (\dfrac{\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + 3 - x}{3})^3 = 1$
Do đó :$A \leq 4$ (1)
Xét x> 3 khi đó $A < 0$ (2)
Từ (1) và (2) :
$max A = 4$ khi $\dfrac{x}{2} = 3 - x và x \geq 0$ hay $x = 2$

câu a bạn giúp mình CM bđt đó được không?
còn câu b thực sự mình cũng nghĩ giống bạn nhưng dk chỉ cho x=<3 thôi

 

[chi254]

câu a bạn giúp mình CM bđt đó được không?
còn câu b thực sự mình cũng nghĩ giống bạn nhưng dk chỉ cho x=<3 thôi

a) Ta có : $(bc - ad)^2 \geq 0$
$b^2c^2 + a^2d^2 - 2abcd \geq 0$
$-2abcd \geq -b^2c^2 - a^2d^2$
$a^2b^2 + c^2d^2 - 2abcd \geq a^2b^2 + c^2d^2 - b^2c^2 - a^2d^2$
$(ab - cd )^2 \geq (a^2 - c^2)(b^2 - d^2)$

b) nếu đk như vậy , a càng bé thì A càng lớn đó bạn ...

 

[star_shine]

Từ điều kiện bài toán ta rút ra [tex]\frac{1}{4} \leq xy \leq \frac{1}{3}[/tex]

[tex]P= x^2+y^2-xy \geq 2xy-xy = xy \geq \frac{1}{4} = \Leftrightarrow x=y=1/2 \\ P= x^2+y^2-xy= (x+y)^2-xy= 16x^2y^2-3xy\\ xy = a \leq \frac{1}{3}\rightarrow P=16a^2-3a = (4a-4/3)^2+\frac{23}{3}a-16/9 \leq \frac{7}{9}\\ [/tex]
Dấu bằng = khi x=1 hoặc y=1

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Em còn mấy bài này nữa ạ:
c)cho [tex]0<x\leq 1;0<y\leq 1[/tex] và [tex]x+y=4xy[/tex]
tìm GTNN, GTLN của bt:
[tex]C=x^{2}+y^{2}-xy[/tex]
d)cho x>0 thỏa mãn x+y=1, lìm Max của D=[tex]x^{2}y^{3}[/tex] (mình x> 0 thôi nhé)
các bạn giải lấy giải để, được câu nào thì được

theo em, dựa theo cách giải của chị @chi254 BQT thì câu
d) có thể làm như sau (với y>o) nhé:
ta có:
[tex]x+y=1\Leftrightarrow y=1-x> 0 \\\Leftrightarrow D=x^{2}(1-x)^{3}=108.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{1-x}{3}.\frac{1-x}{3}.\frac{1-x}{3}[/tex]
Áp dụng BĐT "AM-GM dạng 5 số " ta có:
[tex]\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{1-x}{3}.\frac{1-x}{3}.\frac{1-x}{3}\leq \frac{(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1-x}{3}+\frac{1-x}{3}+\frac{1-x}{3})^{5}}{5^{5}}= \frac{1}{3125} \\\Rightarrow D\leq \frac{108}{3125}[/tex]
dấu bàng khi: [tex]\frac{x}{2}=\frac{1-x}{3} \\\Leftrightarrow x=\frac{2}{5}[/tex]

 

[star_shine]

Em đang bí, các tiền bối giúp em bài này với:
a)tìm GTNN của:
[tex]A=\sqrt{-x^{2}+2x+8}-\sqrt{-x^{2}+x+2}[/tex]
b)tìm GTLN của:
[tex]B=x^{2}(3-x)[/tex]
mang được các bác giúp đỡ, em cảm ơn

Cách khác áp dụng BĐT Cauchy
[tex]A^2= -2x^2+3x+10- \sqrt{4(-x^2+2x+8)(-x^2+x+2)} \geq \\ -2x^2+3x+10 - \frac{-x^2+2x+8-4x^2+4x+8}{2}= \frac{1}{2}x^2+ 2 \geq 2[/tex]
Dấu = <=> x=0
Tiện luôn câu d có thể tách
[tex]\frac{y}{3}.\frac{y}{3}.\frac{y}{3}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.108\leq (\frac{x+y}{5})^2.108[/tex]