bất đẳng thức típ đây

[huongcua]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:Cho x,y,z>0,xyz=1 .CMR
x2/1+y +y2/1+z +z2/1+x>= 3/2
Câu 2: Cho a,b,c >0. a=b+c=3/4
căn bậc 3 của (a+3b)+ căn bậc 3 của (b+3c)+ căn bậc 3 của (c+3a)<= 3
Câu 3 a,b,c>0
(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8
Câu 4 : a,b,c>=0
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)<=3abc

 

[rungtrucxanhsk01]

Câu 1:Cho x,y,z>0,xyz=1 .CMR
x2/1+y +y2/1+z +z2/1+x>= 3/2
Câu 3 a,b,c>0
(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8

[TEX]\frac{x^2}{1+y} + \frac{1+x}{4} \geq x[/TEX]
[TEX]\frac{y^2}{1+y} + \frac{1+y}{4} \geq y[/TEX]
[TEX]\frac{z^2}{1+z} + \frac{1+z}{4} \geq z [/TEX]
Cộng vế theo vế ta được :
[TEX]\frac{x^2}{1+y} + \frac{y^2}{1+y} + \frac{z^2}{1+z} + \frac{3+x+y+z}{4} \geq x + y +z[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{1+y} + \frac{y^2}{1+y} + \frac{z^2}{1+z} \geq \frac{3}{4}.(x+y+z) - \frac{3}{4}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{3}{4}. \sqrt[3]{xyz} - \frac{3}{4} = \frac{3}{2}[/TEX]

Câu 3 a,b,c>0
(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8

Áp dụng BĐT Cauchy :
[TEX]1+\frac{a}{b} \geq 2.\sqrt{\frac{a}{b}}[/TEX]
Tương tự đối với 2 hạng tử còn lại
Nhân vế theo vế ta được :
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX](1+\frac{a}{b}).(1+\frac{b}{c}).(1+\frac{c}{a}) \geq 8[/TEX] ( đpcm)

 

[rungtrucxanhsk01]

Câu 2: Cho a,b,c >0. a=b+c=3/4
căn bậc 3 của (a+3b)+ căn bậc 3 của (b+3c)+ căn bậc 3 của (c+3a)<= 3

Ta có :
[TEX]\frac{1+1+(a+3b)}{3} \geq \sqrt[3]{a+3b}[/TEX]
[TEX]\frac{1+1+(b+3c)}{3} \geq \sqrt[3]{b+3c}[/TEX]
[TEX]\frac{1+1+(c+3a)}{3} \geq \sqrt[3]{c+3a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \leq \frac{6+4(a+b+c)}{3} [/TEX]
[TEX]= \frac{6+3}{3} = 3 [/TEX]

 

[01263812493]

Câu 4 : a,b,c>=0
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)<=3abc

Tương đương: [TEX]\blue abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)[/TEX]
Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh.

 

[huongcua]

thế thì anh chứng minh lun e thêm cách nữa đi her

 

[linhhuyenvuong]

Tương đương: [TEX]\blue abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)[/TEX]
Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh.

C/m:
[TEX](a+b-c)(b+c-a) =[b+(a-c)][b-(a-c)] =b^2-(a-c)^2 \leq b^2[/TEX]
[TEX](b+c-a)(a+c-b) =[c-(a-b)][c+(a-b)] =c^2-(a-b)^2 \leq c^2[/TEX]
[TEX](a+b-c)(a+c-b) =[a+(b-c)][a-(b-c)] =a^2-(b-c)^2 \leq a^2[/TEX]

Nhấn theo vế đc đpcm