Bất đẳng thức tam giác

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:
a)$\dfrac{a^2}{-a+b+c}+\dfrac{b^2}{a-b+c}+\dfrac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c$
b)$\dfrac{(a+b)^2}{a+b-c}+\dfrac{(b+c)^2}{-a+b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{a-b+c}\ge4(a+b+c)$

 

[trinhminh18]

c/m bài toán phụ sau:
c/m $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}$> $\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
\RightarrowCách Chứng minh:
TRước tiên; ta dễ dàng c/m:
$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}$\geq $\dfrac{(a+b)^2}{x+y}$ (1)
\Leftrightarrow$\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}$\geq $\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}$
\Leftrightarrow$a^2x^2+b^2y^2+a^2xy+b^2xy$\geq $a^2xy+b^2xy+2abxy$
\Leftrightarrow$a^2x^2+b^2y^2$\geq$2abxy$
\Leftrightarrow$(ax-by)^2$\geq0
\Rightarrow(1) đc c/m
Áp dụng (1) lại có: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}$\geq$\dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}$\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
\Rightarrow bđt phụ đã đc c/m
Áp dụng bđt phụ trên vào cả 2 câu bài toán thì bài toán dễ dàng đc c/m

 

[transformers123]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:
a)$\dfrac{a^2}{-a+b+c}+\dfrac{b^2}{a-b+c}+\dfrac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c$

Có thể giải bằng bđt Bunhia:
Đặt $VT$ là $A$, ta có:
$(a+b+c).A=(-a+b+c+a-b+c+a+b-c)(\dfrac{a^2}{-a+b+c}+\dfrac{b^2}{a-b+c}+\dfrac{c^2}{a+b-c}$
$\iff (a+b+c).A \ge [\sqrt{(-a+b+c)(\dfrac{a^2}{-a+b+c})}+\sqrt{(a-b+c)(\dfrac{b^2}{a-b+c})}+\sqrt{(a+b-c)(\dfrac{c^2}{a+b-c})}]^2$
$\iff (a+b+c).A \ge (a+b+c)^2$
$\iff A \ge a+b+c\ (\mathfrak{dpcm})$

 

[minhhieupy2000]

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:
a)$\dfrac{a^2}{-a+b+c}+\dfrac{b^2}{a-b+c}+\dfrac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c$

Áp dụng BĐT Schwart ta có:
$\dfrac{a^2}{b+c-a}+\dfrac{b^2}{a+c-b}+\dfrac{c^2}{a+b-c}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c+a+b+c-a-b-c} = \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c $
$Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c$ .$
Vậy đpcm.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

$\dfrac{a^2}{-a+b+c}+-a+b+c \ge 2a$

Tương tự.

$VT+a+b+c \ge 2a+2b+2c \leftrightarrow VT \ge a+b+c$

 

[minhhieupy2000]

b

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:
b)$\dfrac{(a+b)^2}{a+b-c}+\dfrac{(b+c)^2}{-a+b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{a-b+c}\ge4(a+b+c)$

Áp dụng BĐT Schwart ta có:
$\dfrac{(a+b)^2}{a+b-c}+\dfrac{(b+c)^2}{-a+b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{a-b+c}\ge\dfrac{(a+b+b+c+c+a)^2}{(a+b-c) + (-a+b+c) + (a-b+c) }$=$\dfrac{4(a+b+c)^2}{a+b+c}$=$4(a+b+c)$

 

[hotien217]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart:
a. $\dfrac{a^2}{-a+b+c}$+$\dfrac{b^2}{a-b+c} $+$\dfrac{c^2}{a+b-c}$
\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{-a+b+c+a-b+c+a+b-c}$
=$\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$=a+b+c(đpcm)
b. $\dfrac{(a+b)^2}{a+b-c}$+$\dfrac{(b+c)^2}{-a+b+c}$+$\dfrac{(c+a)^2}{a-b+c}$
\geq $\dfrac{(2a+2b+2c)^2}{a+b+c}$=$\dfrac{4(a+b+c)^2}{a+b+c}$=4(a+b+c) (đpcm)
có gì sai sót xin mọi người thông cảm