Bất đẳng thức tam giác

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

1. a) $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\le abc$

• b)$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}<2$

.

• c)$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{a-b+c}+\dfrac{1}{-a+b+c}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$.

 

[trinhminh18]

1/ Đặt $a+b-c=x$
$b+c-a=y$
$c+a-b=z$
\Rightarrow$a=\dfrac{x+z}{2}$
$b=\dfrac{x+y}{2}$
$c=\dfrac{y+z}{2}$
\RightarrowTa cần c/m : $xyz$< $\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$
Áp dụng bđt Cô-si;Ta có:
$x+y$> $2\sqrt{xy}$
$z+y$> $2\sqrt{zy}$
$x+z$> $2\sqrt{xz}$
\Rightarrow$\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$>$\dfrac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{zy}.2\sqrt{xz}}{8}$>$xyz$
\Rightarrowđiều phải chứng minh

 

[trinhminh18]

Vì a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên
$b+c>a$
\Rightarrow$2(b+c)>a+b+c$
\Rightarrow$2a(b+c)>a(a+b+c)$
\Rightarrow$\dfrac{a}{b+c}<\dfrac{2a}{a+b+c}$
C/m tương tự đc
$\dfrac{b}{a+c}<\dfrac{2b}{a+b+c}$
$\dfrac{c}{b+a}<\dfrac{2c}{a+b+c}$
\Rightarrow$\dfrac{a}{b+c}$+$\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{b+a}$<$\dfrac{2(a+b+c)}{a+b+c}$
Hay$\dfrac{a}{b+c}$+$\dfrac{b}{a+c}$+$\dfrac{c}{b+a}$<2

 

[trinhminh18]

Dễ dàng chứng minh $(x+y)^2$>$4xy$
\Rightarrow$\dfrac{x+y}{xy}$>$\dfrac{4}{x+y}$ (*)
Áp dụng Bđt (*) ta có
$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}$>$\dfrac{4}{(a+b-c)+(b+c-a)}$
Hay$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}$>$\dfrac{2}{b}$ (1)
Tương tự ta có:
$\dfrac{1}{a+c-b}+\dfrac{1}{b+c-a}$>$\dfrac{2}{c}$ (2)
$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{a+c-b}$>$\dfrac{2}{a}$ (3)
Từ (1);(2);(3)
\Rightarrow2($\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}$+$\dfrac{1}{a+c-b}$)>2($\dfrac{1}{c}$+$\dfrac{1}{b}$+$\dfrac{1}{a}$)
\Rightarrow$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}$+$\dfrac{1}{a+c-b}$>$\dfrac{1}{c}$+$\dfrac{1}{b}$+$\dfrac{1}{a}$