bất đẳng thức tam giác khó

[trinhminh18]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác .
Chứng minh $a^3+b^3+c^3+abc$ > hoặc = $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

 

[congchuaanhsang]

Với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ra có bđt quen thuộc:

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ \geq $abc$

Khai triển ra sẽ được:

$a^3+b^3+c^3+abc$ \geq $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(b^2+a^2)$

 

[congchuaanhsang]

Với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ra có bđt quen thuộc:

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ \geq $abc$

Khai triển ra sẽ được:

$a^3+b^3+c^3+abc$ \geq $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(b^2+a^2)$

Phần khai triển thì đơn giản nhé

Còn phần cm bđt thì làm như sau:

Ta có: $a^2$ \geq $a^2-(b-c)^2 = (a+b-c)(a+c-b)$

$b^2$ \geq $b^2-(c-a)^2 = (b+c-a)(b+a-c)$

$c^2$ \geq $c^2-(a-b)^2 = (c+a-b)(c+b-a)$

Nhân từng vế được $(abc)^2$ \geq $[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2$ (1)

Do a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên $a+b-c$ ; $b+c-a$ và $c+a-b$ dương

Khai căn 2 vế (1) được đpcm