Bất đẳng thức sáng tạo

[xnzt99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh n^(n+1) > (n+1)^n \forall n\geq3 .
2) Cho a,b,c,d >0 thỏa a+b+c+d=4. Chứng minh $\frac{1}{1+a^2}$ + $\frac{1}{1+b^2}$ +$\frac{1}{1+c^2}$ + $\frac{1}{1+d^2}$ \geq2
3) Cho 0<abc. Chứng minh $\frac{a^2}{b}$ + $\frac{b^2}{c}$ + $\frac{4.c^2}{a}$ \geq a+3b
4) Cho x,y,z \geq0 và x+y+Z=3. Chứng minh $\sqrt[2]{x}$ + $\sqrt[2]{y}$ +$\sqrt[2]{z}$ \geq xy+yz+zx

 

[vipboycodon]

Câu 4 mình đã giải tại đây

 

[vipboycodon]

Câu 2:
Ta có: $\dfrac{1}{1+a^2} = 1-\dfrac{a^2}{1+a^2} \ge 1-\dfrac{a^2}{2a} = 1-\dfrac{a}{2}$
=> $\sum \dfrac{1}{1+a^2} \ge 4-(\sum \dfrac{a}{2}) = 2$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = d = 1$

 

[eye_smile]

4,Đề sai.

Ví dụ $a=-7;b=-1; c=2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Xét $f(x)=\dfrac{x}{\ln x}$

$f'(x)=\dfrac{\ln x -1}{\ln^2 x} > 0$

Suy ra $f(n+1)>f(n)$

Hay $\dfrac{n+1}{\ln (n+1)} > \dfrac{n}{\ln n}$

$\leftrightarrow (n+1)\ln n > n\ln (n+1)$

$\leftrightarrow n^{n+1} > (n+1)^n$