Bất đẳng thức rất rất khó

[011121]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 chứng minh rằng :

$\dfrac{a^{5}}{b^{5}+c^{5}}+\dfrac{b^{5}}{c^{5}+a^{5}}+\dfrac{c^{5}}{b^{5}+c^{5}}\ge \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{b+a}$

 

[0973573959thuy]

$\dfrac{a^5}{b^5 + c^5} - \dfrac{a}{b + c} = \dfrac{a(a^4b + a^4c - b^5 - c^5)}{(b^5 + c^5)(b + c)} = \dfrac{ab(a^4 - b^4) + ac(a^4 - c^4)}{(b^5 + c^5)(b + c)}$ (1)

Bằng cách hoán vị vòng quanh $a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a$ có:

$\dfrac{b^5}{c^5 + a^5} - \dfrac{b}{c + a} = \dfrac{bc(b^4 - c^4) + ba(b^4 - a^4)}{(c^5 + a^5)(c + a)}$ (2)

$\dfrac{c^5}{b^5 + a^5} - \dfrac{c}{b + a} = \dfrac{ca(c^4 - a^4) + cb(c^4 - b^4)}{(a^5 + b^5)(a + b)}$ (3)

Cộng theo vế các đẳng thức (1); (2); (3) có :

$(\dfrac{a^5}{b^5 + c^5} + \dfrac{b^5}{a^5 + c^5} + \dfrac{c^5}{a^5 + b^5}) - (\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b})$

$= ab(a^4 - b^4)[\dfrac{1}{(b^5 + c^5)(b + c)} - \dfrac{1}{(c^5 + a^5)(c + a)}] + ac(a^4 - c^4)[\dfrac{1}{(b^5 + c^5)(b + c)} - \dfrac{1}{(a^5 + b^5)(a + b)}] + bc(b^4 - c^4)[\dfrac{1}{(c^5 + a^5)(c + a)} - \dfrac{1}{(a^5 + b^5)(a + b)}]$

Giả sử $a \ge b \ge c > 0$ thì các biểu thức trong dấu ngoặc tròn và dấu ngoặc vuông đều không âm suy ra đpcm

P.s : Đề bài biến tấu từ đề :

Cho a;b;c > 0

CMR : $\dfrac{a^2}{b^2 + c^2} + \dfrac{b^2}{c^2 + a^2} + \dfrac{c^2}{b^2 + a^2} \ge \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{b + a}$

Gõ mỏi tay >. <