bat dang thuc qua kho

[anhtruong10a9]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z\geq0 va x+y+z=1 CMR:[TEX]\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq\frac{7}{2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

cho x,y,z\geq0 va x+y+z=1 CMR:[TEX]\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq\frac{7}{2}[/TEX]

Không mất tính tổng quát ta giả sử: [TEX]a= max{a,b,c}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{1+{a}^{2}}{1+{b}^{2}}= a^2+1- \frac{b(1+{a}^{2})}{1+{b}^{2}} \leq [/TEX]
[TEX] a^2+1- \frac{b(1+{a}^{2})}{2}[/TEX]

Làm tương tự rồi cộng lại ta được:
[TEX]P=\frac{1+{a}^{2}}{1+{b}^{2}}+\frac{1+{b}^{2}}{1+{c}^{2}}+\frac{1+{c}^{2}}{1+{a}^{2}}[/TEX]
[TEX] \leq \sum a^2+3 - \sum \frac{b(1+{a}^{2})}{2}[/TEX]
[TEX] = \frac{\sum a^2- \sum a^2b^2}{2}+3[/TEX]
[TEX] \leq \frac{\sum a^2+ 2 \sum ab}{2} + 3 = \frac{7}{2}[/TEX]