Toán 10 Bất đẳng thức ( nhiều cách)

[le thi khuyen01121978]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0, a+b+c=1.Chứng minh:
[tex]\frac{a}{(b+c)^{2}}+ \frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4}[/tex]
Cách 1: nhân vào VT với a+b+c, sử dụng bunhia
mọi người giúp mình với. mình cảm ơn nha.

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{a}{(b+c)^{2}}+ \frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}=\frac{a^2+a(b+c)}{(b+c)^2}+\frac{b^2+b(c+a)}{(a+c)^2}+\frac{c^2+c(a+b)}{(a+b)^2}=(\frac{a}{b+c})^2+\frac{a}{b+c}+(\frac{b}{c+a})^2+\frac{b}{c+a}+(\frac{c}{a+b})^2+\frac{c}{a+b}\geq \frac{1}{3}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2+(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex]
Dễ chứng minh [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{a}{(b+c)^{2}}+ \frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{1}{3}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2+(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{1}{3}.\frac{9}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}[/tex]

 

[le thi khuyen01121978]

Cho mình hỏi tại sao bạn có thể suy ra cách đó vậy, mình nghĩ mãi không ra luôn

 

[7 1 2 5]

Suy nghĩ đơn giản thôi bạn...Vì nhân thêm a+b+c nên ta tìm cách tách đề khử số mũ của mẫu..Khi đó phần còn lại dùng Bunyakovsky thôi bạn
*Nhiều bài toán bạn nên suy nghĩ đơn giản đi để khỏi rồi nhé

 

[le thi khuyen01121978]

cách của mình

Suy nghĩ đơn giản thôi bạn...Vì nhân thêm a+b+c nên ta tìm cách tách đề khử số mũ của mẫu..Khi đó phần còn lại dùng Bunyakovsky thôi bạn
*Nhiều bài toán bạn nên suy nghĩ đơn giản đi để khỏi rồi nhé

[tex]\frac{a}{(b+c)^{2}}+ \frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}=\frac{a^2+a(b+c)}{(b+c)^2}+\frac{b^2+b(c+a)}{(a+c)^2}+\frac{c^2+c(a+b)}{(a+b)^2}=(\frac{a}{b+c})^2+\frac{a}{b+c}+(\frac{b}{c+a})^2+\frac{b}{c+a}+(\frac{c}{a+b})^2+\frac{c}{a+b}\geq \frac{1}{3}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2+(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})[/tex]
Dễ chứng minh [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{a}{(b+c)^{2}}+ \frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{1}{3}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2+(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{1}{3}.\frac{9}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}[/tex]

Ý là mình muốn nhờ bạn làm giùm cách khác với!

 

[Sir Stalker]

Chị thử chứng minh [tex]\frac{a}{(1-a)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (3a-1)(a-1)\leq 0[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

Ý là mình muốn nhờ bạn làm giùm cách khác với!

Bài này có thể tách biến riêng biệt nên rất dễ dàng nghĩ tới cách sử dụng UCT
BĐT tương đương: [tex]\frac{a}{(1-a)^2}+\frac{b}{(1-b)^2}+\frac{c}{(1-c)^2}\geq \frac{9}{4}[/tex]
Ta dễ dàng chứng minh được BĐT phụ sau: với mọi [tex]0<x<1[/tex] ta có [tex]\frac{x}{(1-x)^2}\geq \frac{9}{2}x-\frac{3}{4}\Leftrightarrow (3x-1)^2(2x-3)\leq 0[/tex] (luôn đúng)

 

[7 1 2 5]

Chị thử chứng minh [tex]\frac{a}{(1-a)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (3a-1)(a-1)\leq 0[/tex]

[tex](3a-1)(a-1)\leq 0[/tex] là không chứng minh được nhé. Vì a+b+c=1 nên chưa chắc chắn được [tex]a\geq \frac{1}{3}[/tex] nhé

 

[le thi khuyen01121978]

Chị thử chứng minh [tex]\frac{a}{(1-a)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (3a-1)(a-1)\leq 0[/tex]

phải <=>[tex](3a-1)(a-3)\leq 0[/tex] chứ bạn?

 

[mbappe2k5]

phải <=>[tex](3a-1)(a-3)\leq 0[/tex] chứ bạn?

Nhưng thế vẫn sai, vì như bạn @Mộc Nhãn đã nói thì [TEX]a[/TEX] chưa chắc lớn hơn [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] nhé.

 

[Sir Stalker]

[tex](3a-1)(a-1)\leq 0[/tex] là không chứng minh được nhé. Vì a+b+c=1 nên chưa chắc chắn được [tex]a\geq \frac{1}{3}[/tex] nhé

Đúng với giả thiết a là số nhỏ nhất

 

[7 1 2 5]

Đúng với giả thiết a là số nhỏ nhất

Mình tưởng bạn đang làm U.C.T? Nếu làm cách đó thì chắc chắn không thể làm như bạn được...

 

[Lê.T.Hà]

Để mình giải thích cho bạn nghe, nếu bạn giả thiết [tex]a=max\left \{ a;b;c \right \}\Rightarrow a\geq \frac{1}{3}\Rightarrow (3a-1)(a-3)\leq 0[/tex] luôn đúng.
Nó OK, rất đúng là đằng khác
Nhưng câu hỏi đặt ra, sau đó bạn xử lý 2 biến b và c thế nào đây?

 

[le thi khuyen01121978]

cho a,b,c>0, a+b+c=1.Chứng minh:
[tex]\frac{a}{(b+c)^{2}}+ \frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4}[/tex]
Cách 1: nhân vào VT với a+b+c, sử dụng bunhia
mọi người giúp mình với. mình cảm ơn nha.

ta chứng minh được:
[tex]\frac{a}{(1-a)^{2}}\geq 18a-\frac{21}{4}<=> (a-\frac{1}{3})^{2}\frac{18(3-a)}{4(1-a)^{2}}\geq 0[/tex] với mọi a, tượng tự với b,c
cộng vế với vế, được M[tex]\geq 18(a+b+c)-\frac{21.3}{4}=\frac{9}{4}[/tex]