Bất đẳng thức nè

[heocon24]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các cạnh tam giác .Chứng minh rằng:


[TEX](\frac{a}{b}+2c)+(\frac{b}{c}+2a)+(\frac{c}{a}+2b) \geq 1[/TEX]

 

[dandoh221]

CHo a;b;c là 3 cạnh tam giác
[TEX]\frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b} \geq 1[/TEX]
áp dụng Bdt B.C.S :
[TEX][a(b+2c) + b(c+2a) + c(a+2b)](\frac{a}{b+2c} + \frac{b}{c+2a} + \frac{c}{a+2b}) \geq (a+b+c)^2[/TEX]
lại có [TEX]a(b+2c) + b(c+2a) + c(a+2b) = 3(ab+bc+ac) \leq (a+b+c)^2 [/TEX] ( cái này dễ CM)
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \geq 1[/TEX]
done ! . đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a = b =c.[/TEX]
a;b;c là 3 cạnh của tam giác làm gì nhỉ

 

[heocon24]

Cách giải của mình nè:
(([TEX]\frac{a}{b+2c}[/TEX]+[tex]\frac{b}{c+2a}[/tex]+[tex]\frac{c}{a+2b}[/tex])(ab+2ac+bc+2ab+ac+2bc)\geq[tex] (a+b+c)^2[/tex]

\Rightarrow(([TEX]\frac{a}{b+2c}[/TEX]+[tex]\frac{b}{c+2a}[/tex]+[tex]\frac{c}{a+2b}[/tex])\geq[tex]\frac{(a+b+c)^2}{\frac{3(ab+ac+bc)}[/tex]

Mà [tex] (a+b+c)^2[/tex]\geq3(ab+ac+bc)

Vì:[tex] a^2 [/tex]+[tex] b^2 [/tex]+[tex] c^2 [/tex]\geqab+ac+bc
[tex] a^2 [/tex]+[tex] b^2 [/tex]+[tex] c^2 [/tex]+2ab+2ac+2bc\geq3ab+3ac+3bc
\RightarrowThay vào\RightarrowĐiều phải chứng minh

 

[251295]

Cho a,b,c là các cạnh tam giác .Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a}{b}+2c+\frac{b}{c}+2a+\frac{c}{a}+2b \geq 1[/TEX]

- Hình như bạn cuncon sửa đề sai.

- Đề phải là thế này chứ nhỉ:

[TEX]\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \geq 1[/TEX]

- Giải:

[TEX]\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ac+2bc}[/TEX]

- Áp dụng hệ quả của BĐT Bunhiacôpxki có:

[TEX]\frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ac+2bc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{3(ab+bc+ca)}=1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ac+2bc} \geq 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \geq 1[/TEX]