Bất đẳng thức nè. bạn nào giúp mình vs!

[tranvanduc93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho cac so thuc x;y;z#1 thoa man xyz=1.chung mjh rang
(x/(x-1))^2+(y/(y-1))^2+(z/(z-1))^2>=1

 

[jet_nguyen]

Cho cac so thuc $x;y;z\ne 1$ thoa man xyz=1.chung mjh rang
$$\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{y}{y-1}\right)^2+\left(\dfrac{z}{z-1}\right)^2\ge 1$$

$$x = \dfrac{{bc}}{{{a^2}}},y = \dfrac{{ac}}{{{b^2}}},z = \dfrac{{ab}}{{{c^2}}}$$
vậy BĐT trở thành
$$\sum {\frac{{{a^4}}}{{{{({a^2} - bc)}^2}}}} \ge 1$$
Áp dụng BĐT cauchy schwarz ta có:
$$ VT \ge \frac{{{{({a^2} + {b^2} + {c^2})}^2}}}{{\sum {{{({a^2} - bc)}^2}} }}$$
Mà $${({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} - \sum {{{({a^2} - bc)}^2}} = {(ab + bc + ca)^2} \ge 0$$
Suy ra dpcm.

 

[jet_nguyen]

Cách khác:
Gợi ý:
Đặt: $\dfrac{x}{x-1}=a,\dfrac{y}{y-1}=b,\dfrac{z}{z-1}=c$
Do $xyz=1$ nên $(a-1)(b-1)(c-1)=abc$ ( Tự chứng minh).
$\Longleftrightarrow a+b+c-1=ab+ac+bc$ Vậy:
$$VT=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2 -2(ab+ac+bc)=(a+b+c-1)^2 +1\ge 1$$

 

[l94]

$$x = \dfrac{{bc}}{{{a^2}}},y = \dfrac{{ac}}{{{b^2}}},z = \dfrac{{ab}}{{{c^2}}}$$
vậy BĐT trở thành
$$\sum {\frac{{{a^4}}}{{{{({a^2} - bc)}^2}}}} \ge 1$$
Áp dụng BĐT cauchy schwarz ta có:
$$ VT \ge \frac{{{{({a^2} + {b^2} + {c^2})}^2}}}{{\sum {{{({a^2} - bc)}^2}} }}$$
Mà $${({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} - \sum {{{({a^2} - bc)}^2}} = {(ab + bc + ca)^2} \ge 0$$
Suy ra dpcm.

Cho hỏi căn cứ nào khiến bạn nghĩ đến cách đặt thế này?