Toán Bất đẳng thức nâng cao 9

[ninjanhi10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Lâu lâu không làm bất đẳng thức, giúp mình nha!
1/ Làm thử bài này xem:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=6. Chứng minh rằng:
x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+xyz>=8
2/Cho a>=1342 và b>=1342
Chứng minh rằng: a^2+b^2+ab>=2013(a+b)
3/Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm min và max của:
P= ((x-y)(1-xy))/((1+x)^2(1+y)^2)
4/cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt. Chứng minh:
a^2/(b-c)^2 + b^2/(c-a)^2 + c^2/(a-b)^2>=2
5/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1.
Chứng minh rằng: 2/9<= a^3+b^3+c^3+3abc<1/4

Chú ý: Cỡ chữ không quá 5

 

[phamhuy20011801]

1, Giả sử $x \ge y \ge z >0$ mà $x+y+z=6$ nên $6 \ge 3z \leftrightarrow 2 \ge z \leftrightarrow z-3<0$
$4xy \le (x+y)^2=(6-z)^2$
$A=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz-8=(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)+xyz=28+xy(z-3)-3z(x+y) \le 28+\dfrac{(6-z)^2}{4}.(z-3)-3z(6-z)=\dfrac{(z^3-3z^2+4}{4}=\dfrac{(z+1)(z-2)^2}{4} \ge 0$ (lđ)
Từ đó suy ra đpcm.

2, Cộng 2 kết quả $(a-1342)^2+(b-1342)^2 \ge 0$ và $(a-1342)(b-1342) \ge 0 $ theo vế ta được $a^2+b^2+ab \ge 2.1342.(a+b)-3.1342^2=2013(a+b)+2013(a+b-2.1342) \ge 2013(a+b)$

4, Đặt lần lượt các số hạng ở vế phải là $x,y,z$, ta sẽ chứng minh $x^2+y^2+z^2 \ge 2$.
Điều này đúng vì $x^2+y^2+z^2 \ge -2(xy+yz+zx) =2$ (do $xy+yz+zx=-1$)