Bất Đẳng Thức: Mọi người cùng giải nhé!

[clinhc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ca=3abc .Tìm GTNN của biểu thức

2,Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+1=z. Tìm GTLN của biểu thức

3,Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=abc

 

[duynhan1]

1, Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ca=3abc .Tìm GTNN của biểu thức

Đổi biến: $a \to \frac{1}{a}$, ta có: $$\begin{cases} a+ b+ c= 1 \\ P = \sum_{cyc} \frac{c^3}{a^2+c^2} = \sum_{cyc} \left( c- \frac{a^2c}{a^2+c^2} \right) \ge \sum_{cyc} \left( c- \frac{a^2c}{2ac} \right) = \frac{a+b+c}{2} = \frac12 \end{cases}$$

2,Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+1=z. Tìm GTLN của biểu thức

Bạn xem lại giả thiết có phải đúng thế không nhỉ :-?

3,Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=abc

Đổi biến $a \to \frac{1}{a}$, ta cần có: $$a+b+c=1, \quad a,\ b,\ c>0$$ và ta cần chứng minh: $$\sum_{cyc} \frac{a^4+b^4}{a^3+b^3} \ge 1$$
Tuy nhiên BĐT trên đúng do: $$\sum_{cyc} \left( \frac{a^4+ b^4}{a^3+b^3} \right) \ge \sum_{cyc} \left(\frac{a+b}{2} \right) = 1 $$

Chú thích: $\sum_{cyc}$ là tổng hoán vị, ví dụ: $$\sum_{cyc} \left(\frac{a}{a+b} \right) = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} $$

 

[truongduong9083]

mình giải câu 2 nhé

Ta có
x+yz = x + y(1 + x+y) = (x+y)(x+1)
y+xz = y + x(1+x+y) = (x+y)(y+1)
z+xy = 1+ x + y + xy = (x+1)(y+1)
Vậy
[TEX]P = \frac{x^3y^3}{(x+yz )(y+xz)(z+xy)}=\frac{x^3y^3}{(x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3}[/TEX]
Nhận xét:
[TEX](x+y)^2\geq4xy[/TEX]
[TEX]x+1 = \frac{x}{2}+\frac{x}{2} +1\geq 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{4}}\Rightarrow (x+1)^3\geq\frac{27x^2}{4}[/TEX]
[TEX]y+1 = \frac{y}{2}+\frac{y}{2} +1\geq 3 \sqrt[3]{\frac{y^2}{4}}\Rightarrow (y+1)^3\geq\frac{27y^2}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \leq \ \frac{4}{729}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 2; z = 5

 

[clinhc]

bai 2 dung roi day ban ah! con mot bai nua ne, cac ban lam luon nhe!
4,Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn (x+y)(y+z)(z+x)=8. Tìm GTNN của biểu thức
[latex]\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}+ \frac{1}{x+2y}+ \frac{1}{y+2z}+ \frac{1}{z+2x}[/latex]

 

[duynhan1]

bai 2 dung roi day ban ah! con mot bai nua ne, cac ban lam luon nhe!
4,Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn (x+y)(y+z)(z+x)=8. Tìm GTNN của biểu thức
[latex]\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}+ \frac{1}{x+2y}+ \frac{1}{y+2z}+ \frac{1}{z+2x}[/latex]

Từ giả thiết ta chứng minh được: $xy + yz + zx \le 3$
Sử dụng khai triển: $$ (x+y)(y+z)(z+x) = (x+y+z)(xy+yz+zx) -xyz $$
Áp dụng BĐT AM-GM thì ta có: $$P \ge 2\sqrt{\frac{3}{\sqrt[3]{xyz(x+2y)(y+2z)(z+2x)}}}$$
Còn lại dễ rồi nhé, tớ mệt tý nên gõ thế thôi, trúng bài thi thử vừa rồi ở trường