bất đẳng thức,min max

[napoleong10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1 cho 2 số dương x,y thay đổi sao cho x+y=1 tìm min của biểu thức
P = (1-$\frac{1}{x^2}$.(1-$\frac{1}{y^2})$
2.cho a,b là các số thực thỏa mãn a+b khác 0
CMR a²+b² + ($\frac{ab+1}{a+b}$)² ≥ 2
3 chứng minh rằng với b>0 ta có
$\frac{b}{b²+1}$ + 3($\frac{b²+1}{2b})$ ≥ $\frac{7}{2}$
4. cho 2 số tự nhiên thỏa mãn a+b= 2007 tìm max tích ab
5 cho a,b,c là các số thực thỏa mãn b²+bc+c² = 1 - $\frac{3a²}{2}$
tính min và max của C = a+b+c
6 cho u,v là các số dương thỏa mãn U+V=4
tìm min của P = u²+v² + $\frac{33}{uv}$

 

[toiyeu9a3]

4. Áp dụng ab \leq $\dfrac{( a+ b) ^2}{4}$
6. Áp dụng ab \leq $\dfrac{( a+ b) ^2}{4}$
$a^2 + b^2$ \geq$\dfrac{( a+ b) ^2}{2}$

 

[eye_smile]

1.$P=1-(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2})+\dfrac{1}{(xy)^2}=1+\dfrac{1-x^2-y^2}{(xy)^2}=1+\dfrac{2xy}{(xy)^2}=1+\dfrac{2}{xy} \ge 1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=9$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

2.$a^2+b^2+(\dfrac{ab+1}{a+b})^2=(a+b)^2+(\dfrac{ab+1}{a+b})^2-2ab \ge 2|ab+1|-2ab \ge 2ab+2-2ab=2$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $ab+1=(a+b)^2$

3.$\dfrac{b}{b^2+1}+3.\dfrac{b^2+1}{2b}=\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{4b}+5.\dfrac{b^2+1}{4b} \ge 1+\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $b=1$

Các câu còn lại TT

 

[ronaldover7]

2.
\Rightarrow a²+b²+2ab + ($\frac{ab+1}{a+b}$)² \geq 2+2ab
\Rightarrow $(a+b)^2$+$\frac{ab+1}{a+b}$)² \geq 2(ab+1) (đúng do dùng cauchy)

3 .
$\frac{b}{b²+1}$ + 3($\frac{b²+1}{2b})$ =$\frac{b}{b²+1}$ + 6($\frac{b²+1}{4b})$=$\frac{b}{b²+1}$ + ($\frac{b²+1}{4b}$)+ 5($\frac{b²+1}{4b}$) \geq 1+5($\frac{b²+1}{4b})$
Ta có: 5($\frac{b²+1}{4b})$ \geq $\frac{5}{2}$
\Rightarrow $\frac{b}{b²+1}$ + 3($\frac{b²+1}{2b})$ \geq 1+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$

 

[congchuaanhsang]

5 cho a,b,c là các số thực thỏa mãn b²+bc+c² = 1 - $\frac{3a²}{2}$
tính min và max của C = a+b+c

$b^2+bc+c^2=1-\dfrac{3a^2}{2}$

\Leftrightarrow $2b^2+2bc+2c^2=2-3a^2$

\Leftrightarrow $3a^2+2b^2+2bc+2c^2=2$

\Leftrightarrow $(a^2+b^2+c^2+2bc+2ca+2ab)+(c^2-2ca+a^2)+(a^2-2ab+b^2)=2$

\Leftrightarrow $(a+b+c)^2=2-(c-a)^2-(a-b)^2$ \leq $2$

\Leftrightarrow $-\sqrt{2}$ \leq $a+b+c$ \leq $\sqrt{2}$

$(a+b+c)_{min}=-\sqrt{2}$ \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{-\sqrt{2}}{3}$

$(a+b+c)_{max}=\sqrt{2}$ \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$