bất đẳng thức lượng giác

[quanlearnmath]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$ cosA +cosB+cosC \leq 3/2 $ )



Chú ý tiêu đề

 

[truongduong9083]

Trên các cạnh AB, BC, AC chọn các véc tơ đơn vị $\vec {i}, \vec {j}, \vec {k}$
Với $|\vec {i}|+|\vec {ị}|+|\vec {k}| = 1$
Ta có $(\vec{i}+ \vec{j}+ \vec{k})^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow 3+ 2(\vec{i}\vec{j}+\vec{j}\vec{k}+\vec{k}\vec{i}) \geq 0$
$\Leftrightarrow 3- 2(cosA+cosB+cosC) \geq 0$
$\Leftrightarrow cosA+cosB+cosC \leq \dfrac{3}{2}$

 

[huytrandinh]

Bài trên còn có thể giải như sau
ta có $cosC=-cos(A+B)=1-2sin^{2}\dfrac{C}{2}$
$cosA+cosB+cosC=2cos\dfrac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+cosC$
$\leq 2cos\dfrac{A+B}{2}+cosC=2sin\dfrac{C}{2}+1-2sin^{2}\dfrac{C}{2}$
$\leq \dfrac{3}{2}$
$.2sin\dfrac{C}{2}+1-2sin^{2}\dfrac{C}{2}\leq \dfrac{3}{2}$
$<=>2(sin\dfrac{C}{2}-\dfrac{1}{2})^{2}\geq 0$
thèn cuối là luôn đúng nên ta có đpcm