Toán bất đẳng thức lớp 9

[Nguyễn Phương Thanh Ngân]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh A=(xy/(x^5+xy+y^5)+yz/(y^5+yz+z^5)+xz/(x^5+xz+z^5))≤ 1 biết xyz=1 và x,y,z dương

 

[Lanh_Chanh]

chứng minh A=(xy/(x^5+xy+y^5)+yz/(y^5+yz+z^5)+xz/(x^5+xz+z^5))≤ 1 biết xyz=1 và x,y,z dương

Sd bdt [tex]x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)[/tex]
C/m: [tex]x^5+y^5-x^3y^2-x^2y^3\geq 0[/tex]
[tex]<=> x^3(x^2-y^2)-y^3(x^2-y^2)\geq 0[/tex]
[tex]<=>(x^2-y^2)(x^3-y^3)\geq 0[/tex]
[tex]<=>(x-y)^2(x+y)(x^2+xy+y^2)\geq 0[/tex] luôn đúng [tex]\forall[/tex] x,y dương
Áp dụng bđt trên ,ta có:
[tex]\frac{xy}{x^5+xy+y^5}\leq \frac{xy}{xy+x^2y^2(x+y)}=\frac{1}{1+xy(x+y)}=\frac{z}{x+y+z}[/tex]
Tươg tự ta cx cm đc [tex]\frac{yz}{y^5+yz+z^5}\leq \frac{yz}{yz+y^2z^2(y+z)}=\frac{1}{1+yz(y+z)}=\frac{x}{x+y+z}[/tex]
[tex]\frac{zx}{z^5+zx+x^5}\leq \frac{zx}{zx+z^2x^2(z+x)}=\frac{1}{1+zx(z+x)}=\frac{y}{x+y+z}[/tex]
Cộng vế tương ứng ta đc đpcm,,
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1,,