Toán Bất đẳng thức lớp 9

[Thảo Nguyên ĐC]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số dương
CMR : [tex]\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2[/tex]
Các tiền bối xin hãy ra tay cứu giúp tiểu nhân:r40

 

[chi254]

Cho x,y,z là các số dương
CMR : [tex]\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2[/tex]
Các tiền bối xin hãy ra tay cứu giúp tiểu nhân:r40

Theo Bất đẳng thức Cô - si
[TEX]\sqrt{\dfrac{y + z}{x} . 1} \leq (\dfrac{y + z}{x} + 1) : 2 = \dfrac{x + y + z}{2x}[/TEX]
Do đó : [TEX]\sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \dfrac{2x}{x + y + z}[/TEX]
Tương tự :
[TEX]\sqrt{\frac{y}{x + z}} \geq \dfrac{2y}{x + y + z}[/TEX]
[TEX]\sqrt{\frac{z}{x + y}} \geq \dfrac{2z}{x + y + z}[/TEX]
Cộng từng vế :
[TEX]\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \dfrac{2(a + b + c)}{a + b + c} = 2[/TEX]
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi :
[TEX]a = b + c[/TEX]
[TEX]b = a + c[/TEX]
[TEX]c = a + b[/TEX]
Suy ra : [TEX]a + b + c = 0[/TEX] , trái với giả thiết a , b ,c là các số dương
Hay đẳng thức không xảy ra
Vậy [tex]\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2[/tex]

 

[Thảo Nguyên ĐC]

Theo Bất đẳng thức Cô - si

Do đó :

Nếu vậy thì tại sao lúc đầu mình không biến đổi luôn mà phải qua 1 bước rồi mới nghịch đảo vậy

 

[chi254]

Nếu vậy thì tại sao lúc đầu mình không biến đổi luôn mà phải qua 1 bước rồi mới nghịch đảo vậy

Nếu ta biến đổi lúc đầu thì mẫu số sẽ là x + y ; y + z ; z + x
Khi đó việc tính toán sau này sẽ gặp khó khăn hơn nha bạn ^^

 

[iceghost]

Cho x,y,z là các số dương
CMR : [tex]\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2[/tex]
Các tiền bối xin hãy ra tay cứu giúp tiểu nhân:r40

Cách khác. Áp dụng bđt AM-GM ta có $$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}} = \dfrac{x}{\sqrt{x(y+z)}} \geqslant \dfrac{2x}{x+y+z}$$
...