Toán 10 Bất đẳng thức lớp 10

[orangery]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn;
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=3\sqrt2$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a} \geq \dfrac{3}{2}$
Xin cảm ơn ạ,

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]\sqrt{a^2+b^2}=x,\sqrt{b^2+c^2}=y,\sqrt{c^2+a^2}=z(x,y,z> 0)[/tex]
Ta thấy: [tex](b+c)^2\leq 2(b^2+c^2)\Rightarrow b+c\leq \sqrt{2(b^2+c^2)}=\sqrt{2}y;2a^2=(a^2+b^2)+(a^2+c^2)-(b^2+c^2)=x^2+z^2-y^2[/tex]
[tex]\frac{a^2}{b+c}\geq \frac{x^2+z^2-y^2}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}-y)[/tex]
Tương tự ta có: [tex]\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{z^2}{y}-x-y-z)[/tex]
Ta thấy: [tex]\frac{x^2}{y}+y\geq 2x\Rightarrow \frac{x^2}{y}\geq 2x-y[/tex]
Tương tự ta có: [tex]\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{z^2}{y}\geq 2x-y+2x-z+2y-z+2y-x+2z-x+2z-y=2(x+y+z)\Rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{z^2}{y}-x-y-z\geq (x+y+z)=3\sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.3\sqrt{2}=\frac{3}{2}[/tex]