Bất đẳng thức lệch

[z0zlongbongz0z]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn a+b+c=3.Cmr
[TEX]a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq4[/TEX]
@-)@-)@-)@-)@-)

 

[duynhan1]

Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn a+b+c=3.Cmr
[TEX]a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq4[/TEX]
@-)@-)@-)@-)@-)

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]c[/TEX] là số nằm giữa [TEX]a[/TEX] và [TEX]b[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a^2b + c^2 a) - (a^2 c+abc) = a^2(b-c) + ac(c-b) = a(b-c)(a-c) \le 0 \\ \Rightarrow a^2b + c^2 a \le a^2c + abc \\ \Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a \le c(a^2+b^2+ab) \le c(a+b)^2 =4. c . \frac{a+b}{2} .\frac{a+b}{2} \le 4 . \(\frac{a+b+c}{3})^3 = 4[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi :
[TEX]\left{ a = 0 \\ b=2 \\ c = 1 [/TEX] và các hoán vị.

 

[vodichhocmai]

Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn a+b+c=3.Cmr
[TEX]a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq4[/TEX]
@-)@-)@-)@-)@-)

Chúng ta có thể giả sử rằng [TEX](a-b)(c-b)\ge 0\righ ac^2+b^2c \le bc^2+abc [/TEX]

[TEX]\righ a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq a^2b +abc+bc^2[/TEX]

[TEX]\righ a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq b\(a^2+ac+c^2\) \le b\(a+c\)^2 \le \frac{\(2a+2b+2c\)^3}{2.27}=4[/TEX]