Ta đi từ bổ đề sau:
Nếu [TEX]a_1,a_2,....,a_k\in [m;n]m>0[/TEX] Thì [TEX]k^2\le A=\sum_{i=1}^k a_i.\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\le\frac{k^2(m+n)^2}{4mn}[/TEX]
[TEX](*)[/TEX]Thật vậy theo [TEX]AM-GM[/TEX] cho [TEX]k[/TEX] số dương ta được .
[TEX]\sum_{i=1}^k a_i\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}a_i}[/TEX]
[TEX]\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}[/TEX]
Nhân vế theo vế ta được
[TEX]\righ A\ge k^2(1)[/TEX].
[TEX](*)[/TEX] Xét hàn số :
[TEX]f(x)=x^2-(m+n)x+mn\le 0\foral x\in[m;n][/TEX] [TEX]\righ x+\frac{mn}{x}\le (m+n)[/TEX]
[TEX]\left{a_1+\frac{mn}{a_1}\le (m+n)\\......................\\a_k+\frac{mn}{a_k} \le (m+n)[/TEX]
Cộng vế theo vế ta được và áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta được . .
[TEX]\righ k(m+n)=\sum_{i=1}^k a_i.\sum_{i=1}^k mn\frac{1}{a_i}\ge 2\sqrt[2]{mn.A}[/TEX]
[TEX]\righ A\le\frac{k^2(m+n)}{4mn}(2)[/TEX]
Từ [TEX](1)&(2)[/TEX] Ta được bổ đề chứng minh xong .bất đẳng thức quá yếu , không xảy ra đẳng thức và bài này cho thi DH là được .
Cho x, y, z thuộc khoảng [1;2]
Tìm max [tex](x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})[/tex]
Làm lài gần hơn :
Bài làm :
Giả sử [TEX]1\le x\le y\le z\le 2[/TEX][TEX]\Rightarrow\left{(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})\ge 0\\(1-\frac{y}{z})(1-\frac{z}{y})\ge 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=(\frac{x}{y}+\frac{y}{z})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})+3\le 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})[/TEX]
Đặt [TEX]t=\frac{x}{z}[/TEX][TEX]\forall t\in [\frac{1}{2};1][/TEX][TEX]\Rightarrow t+\frac{1}{t}\le\frac{5}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A\le 10[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
