Toán 9 Bất đẳng thức khó

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số không âm. Chứng minh rằng [tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}} \geq 1[/tex]

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho a,b,c là các số không âm. Chứng minh rằng [tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}} \geq 1[/tex]

có: [tex]\sqrt{1+k^3}=\sqrt{(1+k).(1-k+k^2)}\leq \frac{1+k+1-k+k^2}{2}\\\\ =1+\frac{k^2}{2}\\\\ "=" <=> 1+k=1-k+k^2 <=> k.(k-2)=0 <=> k=2[/tex]
áp dụng có: [tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}} \\\\ =\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}+\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{a+c}{b})^3}}+\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{a+b}{c})^3}}\\\\ \geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}.(\frac{b+c}{a})^2}+\frac{1}{1+\frac{1}{2}.(\frac{c+a}{b})^2}+ \frac{1}{1+\frac{1}{2}.(\frac{a+b}{c})^2}\\\\ \geq \frac{1}{1+\frac{b^2+c^2}{a^2}}+\frac{1}{1+\frac{c^2+a^2}{b^2}}+ \frac{1}{1+\frac{a^2+b^2}{c^2}}\\\\ =\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1[/tex]
dấu "=" <=> a=b=c

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Bạn thử cm
[tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}[/tex] nha