Bất đẳng thức khó

[chuhien0]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$
CMR:$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$\geq 12$a^2b^2c^2$

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $a=\dfrac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}, b=\dfrac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}$ và $c=\dfrac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$ với $x,y,z>0$
Khi đó bất đẳng thức trở thành:
$$\sum\limits_{cyclic} \dfrac{y^2z^2}{(y+z)^2(x+y)(x+z)}\ge \dfrac{12x^2y^2z^2}{[(y+z)(z+x)(x+y)]^2}$$
hay là
$$\sum\limits_{cyclic}y^2z^2(x+y)(x+z)\ge 12x^2y^2z^2$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM:
$$\sum\limits_{cyclic}y^2z^2(x+y)(x+z)\ge 4\sum\limits_{cyclic} xy^{5/2}z^{5/2}\ge 12x^2y^2z^2$$

 

[chuhien0]

Đặt $a=\dfrac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}, b=\dfrac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}$ và $c=\dfrac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$ với $x,y,z>0$
Khi đó bất đẳng thức trở thành:
$$\sum\limits_{cyclic} \dfrac{y^2z^2}{(y+z)^2(x+y)(x+z)}\ge \dfrac{12x^2y^2z^2}{[(y+z)(z+x)(x+y)]^2}$$
hay là
$$\sum\limits_{cyclic}y^2z^2(x+y)(x+z)\ge 12x^2y^2z^2$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM:
$$\sum\limits_{cyclic}y^2z^2(x+y)(x+z)\ge 4\sum\limits_{cyclic} xy^{5/2}z^{5/2}\ge 12x^2y^2z^2$$

Bạn ơi,mình mới học lớp 8 nên k hiểu mấy cái này,có cách nào dành cho lớp 8 k???

 

[huynhbachkhoa23]

Giả sử $a\ge b \ge c$ thì $a^2+b^2+c^2+2abc=1 \le 3a^2+2a^3 \to a\ge \dfrac{1}{2}$
Ngoài ra $a^2+b^2+c^2+2abc=1>a^2\to a<1$
Khi đó ta phân tích:
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-12a^2b^2c^2$
$=a^2(b^2+c^2)+(1-12a^2)b^2c^2$
$=a^2\left(b^2+c^2-\dfrac{b^2+c^2+2abc}{a+1}\right)+(1-12a^2)\left[bc+\dfrac{b^2+c^2+2abc}{2(a+1)}\right]\left[bc-\dfrac{b^2+c^2+2abc}{2(a+1)}\right]+\dfrac{a^2(b^2+c^2+2abc)}{a+1}+\dfrac{(1-12a^2)(b^2+c^2+2abc)^2}{4(a+1)^2}$
$=\dfrac{a^3(b-c)^2}{a+1}+\dfrac{(12a^2-1)(b-c)^2\left[(b+c)^2+4abc\right]}{4(a+1)^2}+\dfrac{1}{4}(1-a)(2a-1)^2(3a+1) \ge 0$
Do đó ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại 2 điểm: $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $b=c\to 0, a\to 1$ và các hoán vị. (Điểm đẳng thức thứ 2 đừng chú ý đến)
Phân tích tuyệt vời phải không

 

[soicon_boy_9x]

Trong 3 số $a-0,5;b-0,5;c-0,5$ tồn tại 2 số cùng âm hoặc cùng dương

Không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là a,b

Ta có: $(a-b)^2+(c-0,5)^2+4c(a-0,5)(b-0,5) \geq 0$

$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc+0,25 \geq 2(ab+bc+ca)$

Lại có $1=a^2+b^2+c^2+2abc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+2abc$

$\leftrightarrow abc \leq \dfrac{1}{8}$

$\leftrightarrow 2(ab+bc+ca) \leq a^2+b^2+c^2+2abc+0,25+2abc \leq 1,5$

$\leftrightarrow ab+bc+ca \leq \dfrac{3}{4}$

Ta có:

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq \dfrac{4}{3}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(ab+bc+ca)
\geq 12a^2b^2c^2$